测试点33(基本不等式).doc

基本不等式
1． 内容提要
（1） 如果，且n>1，那么叫作这n个正数的算术平均数，叫作这n个正数的几何平均数。
注：N个数的算术平均数不小于几何平均数。
（2） 若a，bR，则（当且仅当a=b时取等号）。
（3） 均值不等式：若a，b为正数，那么（当且仅当a=b时取等号）。
2． 利用基本不等式证明不等式
（1）常用来证明积ab与和a+b有关联的不等式。
（2）常用来证明平方和与积有关联的不等式。
（3）常用来证明和与平方和有关联的不等式。
[例1]已知a，b，c都是正数，且a+b+c=1。求证：。
证明：

[例2] 设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A． B.
C. D.
[解析] ，A成立；
C成立；
对于D，如果，显然成立，如果，则

故D也成立。所以选B。也可取特殊值，如，易验证B不成立
[例3] 已知，求证：
（1）；
（2）
[分析] 由不等式两边的结构特点，联想到重要不等式，故可运用它们进行证明。
[证明]（1），
。
同理 ，。
三式相加得 。
（2）

即 。
又

[点评] 证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性
练习题：
1、下列结论正确的是（ ）。
A. 当 B. 当时，
C. 当时，的最小值为2 D. 当时，无最大值
2、 已知a，b均为正数，且，则的最大值为（ ）
A. B . C. 2 D. 4
3、 已知,则A,G,H的大小关系是( )
A. B. C. D.
4、 已知,有不等式:启发我们可以推广为,则a的值为( )
A. B. C. D.
5、 已知,且,那么( )
A. B.
C. D.
6、已知,且,求证: .
7、若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（ ）
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q
8、若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .
9、若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （）
（Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2

3． 运用重要不等式求最值
（1）“和定积最大”：；
（2）“积定和最小”：。
运用最要不等式求最值要注意满足三个条件：正、定、等。即a，b都是正数，和或积是定值，a与b能相等。
[例1] 设实数x,y,m,n满足，求mx+ny的最大值。
解：常见的错误解法是

其中等号成立的充要条件是m=x,n=y,矛盾。
下面给出两种正确解法：
解法一：

当且仅当x=m,y=n,时，mx+ny取得最大值。
解法二： 三角代换
设x=cos,y=sin,m=cos,n=sin,以后过程请自己完成。
[例2] （1）已知，求函数的最大值；
（2）已知
[分析] 不是常数，所以对要进行拆（添）项“配凑”。
（2）本题的困难在于如何使用条件，如果从中解出x或y ，再代入转化为一元函数的最值问题，显然是比较复杂的，这时，我们可设法整体的使用条件。
[解析] （1）

当且仅当=时，即x=1时，上式等号成立。故当x=1时，。
（2）解法一：

当且仅当=，又，即时，上式等号成立。
故当时。
解法二：由，得。
又知 所以当且仅当=3
即时。
练习题：1、 已知,则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值1 D. 最小值1
2、若关于x的方程有解,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、 已知,则xy的最小值是_________。
4、 函数的图象上的最低点的坐标是_______。
5、 已知a,b,c为某一直角三角形的三条边长,c为斜边,若点(m,n)在直线上,则的最小值是_______。
6、设，求函数的最大值。
7、已知a>b>0,求的最小值。
8、，且，则的最小值是__________。
9、下列命题中正确的一个是 （ ）
A．≥2成立当且仅当a,b均为正数
B．成立当且仅当a,b均为正数
C．logab＋logab≥2成立当且仅当a,b∈(1,＋∞)
D．|a＋|≥2成立当且仅当a≠0
10、已知实数x,y满足x2＋y2＝1，则代数式(1－xy)(1＋xy)有 （ ）
A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值 D．最小值1
11、实数___，y=___。
12、设，则x+y的最小值为_________。
13、求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
14、设a>1，0<b<1，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
15、设0<x<1,a、b为正常数，则的最小值为（ ）
A．4ab B． C． D．

4．重要不等式在实际问题中的应用
用均值不等式求函数的最大（小）值时，注意三个必要条件——即一正（各项的值为正）二定（各项的和或积为定值）三相等（取等号的条件）。
[例1] 某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室，在室温内，沿左右两侧和后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形室温的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解：设矩形室温的左侧边长为a，后侧边长为b，则ab=800。蔬菜的种植面积为
S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).
S808-4=648().
当且仅当a=2b，即a=40,b=20时，取等号。
答：当矩形室温的左侧边长为40，后侧边长为20时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648。
[例2] 为处理某种含有杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后，从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，沉淀后，流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

[解法一] 由题意，有。
，
设，则

当a=2b时等号成立，即a=6，b=3时流出的水中该杂质的质量分数最小。
[解法二] （以b为主元）依题意有
得 ①
，可见要使y最大即要a+2b最小。

当且仅当=时取等号，最小，y达到最大值。这时，把代入①得。
故当米，米时，经过沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
注：以a为主元可同理得出正确答案。
[解法三] （同时考虑a和b）
依题意有。
变形得

即当=即时取等号，易得时最大。
练习题：
1、建造一个容积8，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．
2、 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
A. B. C. D .
3、 某家庭用14.4万元购买了一辆汽车,使用中维修费用逐年上升,第n年维修费用约为0.2n万元,每年其它费用0.9万元.报废损失最小指的是购车费、维修费及其它费用之和的年平均值最小,则这辆车应在______年之后报废损失最小.
4、 已知函数的图象与x、y轴分别相交于A、B,(,分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数.
(1)求k,b的值;
(2)当x满足时,求函数的最小值.
5、 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元.试计算:
(1)仓库面积S的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
6、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

7、某工厂计划在新世纪中使全厂产值大幅度增长。2001年的增长率为，2002年的增长率为，试判断这两年的平均增长率与的大小。