北京市西城区(北区)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题-理-北师大版.doc

北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试
数学试卷（理科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 是虚数单位，若复数满足，则等于
A. B. C. D.
2. 甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是
A. B. C. D.
3. 函数的图象在点（2，）处的切线方程是
A. B.
C. D.
4. 从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有
A. 9个 B. 10个 C. 11个 D. 12个
5. 设函数的导函数为，若为奇函数，则有
A. ， B.
C. D.
6. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与轴所围成的封闭图形的面积等于

A. B. C. D.
7. 将4名男生和4名女生随机地排成一行，那么有且只有2名男生相邻的概率是
A. B. C. D.
8. 已知函数，若同时满足条件：
①，为的一个极大值点；
②，。
则实数的取值范围是
A. B.
C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9. 的二项展开式中的常数项为__________。（用数字作答）
10. 如果函数，那么__________。
11. 已知某随机变量X的分布列如下（）：
X
1
－1
P

且X的数学期望，那么X的方差D（X）＝__________。
12. 已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数__________。
13. 有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有__________种不同的组队方法。（用数字作答）
14. 设函数，其中，且，给出下列三个结论：
①函数在区间（）内不存在零点；
②函数在区间（）内存在唯一零点；
③设为函数在区间（）内的零点，则。
其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响。
（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率。
16. （本小题满分13分）
设函数，且，其中，2，3，…。
（I）计算的值；
（II）猜想数列的通项公式，并用数字归纳法加以证明。
17. （本小题满分13分）
已知函数。
（I）求函数的单调区间；
（II）设，求函数在区间上的最小值。
18. （本小题满分13分）
箱中装有4个白球和个黑球。规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量X为取出的3个球所得分数之和。
（I）若，求的值；
（II）当时，求X的分布列和数字期望E（X）。
19. （本小题满分14分）
请先阅读：

设平面向量，且与的夹角为，
因为，
所以。
即，
当且仅当时，等号成立。
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意，，，，都有成立；
（II）试求函数的最大值。
20. （本小题满分14分）
已知函数，。
（I）求函数的解析式；
（II）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（III）设，，且，求证：。

【试题答案】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 160 10. 11. 12. －1 13. 90 14. ②③
注：第14题多选、少选均不得分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）
15. （本小题满分13分）
（I）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A。（1分）
因为甲每次投篮命中的概率为，
所以甲投篮一次且没有命中的概率为。（2分）
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为。（3分）
所以。
答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为。（6分）
（II）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B。（7分）
因为甲每次投篮命中的概率为，
所以甲投篮3次，且都没命中的概率为，（9分）
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为（11分）
所以。
答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为。（13分）
16. （本小题满分13分）
（I）解：由题意，得，（1分）
因为，
所以，。（3分）
（II）解：由，猜想（5分）
以下用数字归纳法证明：对任何的，
证明：①当时，由已知，左边，右边，所以等式成立。（7分）
②假设当时等式成立，即，（8分）
则时，。
所以当时，猜想也成立。（12分）
根据①和②，可知猜想对于任何都成立。（13分）
17. （本小题满分13分）
（I）解：因为。（2分）
令，解得。（3分）
当变化时，与的变化情况如下表：

－
0
＋

极小值

（5分）
所以函数在（）上单调递减，在上单调递增。（6分）
（II）解：当时，
因为函数在（）上单调递减，
所以当时，函数有最小值。（8分）
当时，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值。（10分）
当时，
因为函数在（）上单调递增，
所以当时，函数有最小值。（12分）
综上，当时，函数在上的最小值为；
当时，函数在上的最小值为；；
当时，函数在上的最小值为。（13分）
18. （本小题满分13分）
（I）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量。（1分）
所以，（3分）
即，
解得。（5分）
（II）解：由题意，得X的可能取值为3，4，5，6。（6分）
则，
，
。
。（10分）
X的分布列为：
X
3
4
5
6
P

（11分）
所以。（13分）
19. （本小题满分14分）
（I）证明：设空间向量，且与的夹角为，
因为，
所以，（3分）
即（6分）
所以，
当且仅当时，等号成立。（7分）
（II）解；设空间向量，，且与的夹角为，（9分）
因为，
所以，
即，（12分）
当且仅当（即与共线，且方向相同）时，等号成立。
所以当时，即时，函数有最大值。（14分）
20. （本小题满分14分）
（I）解：因为，
所以。（2分）
令，得，
所以。
（II）解：设，
则，（5分）
令，解得。（6分）
当变化时，与的变化情况如下表：

（0，1）
1

＋
0
－

极小值

所以当时，。（8分）
因为对于任意，都有成立，
所以。（9分）
（III）证明：由（II），得，即，
令，得，
令，得，（11分）
所以

因为，
所以，（13分）
所以，
即，
所以，
所以（14分）

10