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与三角形有关的线段
一、 知识梳理
1．三角形的定义及基本要素
（１） 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做＿＿＿＿＿．组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________．如图以A、B、C为顶点的三角形ABC，可以记作 ，读作_____________．
（２） 三角形的分类
按角分类如下：
三角形 直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
斜三角形 锐角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
按边分类如下：
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
．
（３）在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底的夹角叫做 ．如右图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么腰是 ，底是 ，顶角是 ，底角是 ．
2．三角形三边间的关系：

3．三角形的高、中线、角平分线

图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　 图3
(1)一个三角形有_____条高．如图1所示，AD是_____边上的高，∠ADB=　　　=90°，S△ABC=BC×____．
(2)一个三角形有_____条中线．如图2所示，BD是_____边上的中线，AD=_____=____．
(3)一个三角形有_____条角平分线．如图3所示，CE是∠____的平分线，∠ACE=_____=_____．
4．三角形的稳定性
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的 ．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．
二、典型例题
考点一：三角形的定义及基本要素
例1．如图１所示，在△ABC中，D，E是BC，AC上的两点，连结BE，AD交于F，问：
（1）图中有几个三角形？并表示出来;（2）△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
（3）AB边是哪些三角形的边？（4）F点是哪些三角形的顶点？
图１

例2．三角形按角分类，可分为（ ）．
A．等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形;
B．等腰三角形、不等边三角形、等边三角形;
C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;
D．等腰三角形、不等边三角形
考点二：三角形的三边关系
例3．在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长 cm．
例4．若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且则a=______，b=______，c=______．
例5．等腰三角形有两边长是2和5，则其周长为_______
例6．用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为 ．
例7．一个等腰三角形的周长是36cm，求：
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边长．
（2）已知其中一边长为8cm，求其他两边长．

考点三：三角形的高、中线、角平分线
例8．(1) 如图2，AD是△ABC的高，DE是△ACD的高，则图中的直角三角形有 个．
(2)如图3所示，H为△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△HBC中，BC边上的高是____，△BHA中，BH边上的高是_____，AF是△_____，△____，△_____的高，S△BHC =_____=_____=_____．

图2　　　　　　　　　　　　　　　图3　　　　　　　　　　　图4
(3) 如图4，在△ABC中，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，若∠ABC=66°， ∠ACB=58°，则∠FDB的度数为　　　　（ ）
A．56° B．62° C．70° D．86°
(4) 已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）
A．12 B．10．5 C．10 D．8．5
例9．如图在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，斜边AB的高为CD，若AC=3，BC=4，AB=5，（1）求S△ABC，（2）求CD．

图5

考点四：三角形的稳定性
例10．(1)如图6所示是边长为25cm的活动菱形（四边相等的四边形）衣帽架，它应用了四边形的______．

图6 图7
(2)小明是个喜好做事的同学，一天他发现教室的门变形了，就在门框ABCD上斜钉了两块木条EF，MN（如图7所示），受到了老师和同学们的好评，他这样做是利用了____ __ _ ．
三、直击中考
1．（2010湖南娄底）如图1所示的图形中，三角形的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图1 图2
2．（2010四川自贡）为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）．
A．5m B．15m C．20m D．28m
3．（2010浙江义乌）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1、2、3．5 B．4、5、9 C．20、15、8 D．5、15、8
4．（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2010 福建三明）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是 （ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．11cm
6．（2010四川 巴中）如图3所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ )
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
7．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图4所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

A
B
C
P0
P3
P2
P1

图3 图4
9．（2010安徽蚌埠）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________．
四、课后作业
1．如果等腰三角形的两边长为5cm和9cm，则三角形周长为 ．
2．三角形最长边等于10，另两条边的长分别为x和4，周长为c，则x和c的取值范围分别是 、 ．
3．如图6所示,△ABC中AB＝AC，请你添加一个条件 ，使得AD∥BC．
4．如图7，D、E是边AC的三等分点若△ABC的面积为12㎝2，则△BDC的面积是 ㎝2．

5．桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性．
6．下列说法错误的是( )．
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
7．已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|．

8．已知：如图，在△ ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．

9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的面积； (2)CD的长；
（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；
（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长．

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