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浙大远程教育控制理论离线作业

第一章
1-1 与开环系统相比，闭环系统的最大特点是：检测偏差，纠正偏差。
1-2 分析一个控制系统从以下三方面分析：稳定性、准确性、快速性。
1-3 图1-1 (a)，(b)所示均为调速系统。
(1) 分别画出图1-3(a)、图(b)所示系统的方框图。给出图1-1(a) 所示系统正确的反馈连线方式。
(2) 指出在恒值输入条件下，图1-1(a)， (b) 所示系统中哪个是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。

图1-1 调速系统工作原理图
解 图1-1(a)正确的反馈连接方式如图1-1 (a)中虚线所示。
(1) 系统方框图如图解1-2所示。

(2) 图1-1 (a) 所示的系统是有差系统，图1-1 (b) 所示的系统是无差系统。
图1-1 (a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流一定是恒定值。这意味着放大器前端电压是非零的常值。因此，常值偏差电压存在是系统稳定工作的前提，故系统有差。
图1-1 (b)中，给定恒定电压，电动机达到稳定转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为0，故系统无差。

1-4 图1-3 (a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1-3(a)，(b)中哪个能保持110V不变，哪个电压会低于110V？为什么?

图1-3 电压调节系统工作原理图

解 带上负载后，开始由于负载的影响，图1-3(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110V，而图(b) 所示系统却不能。理由如下：
图(a)系统，当低于给定电压时，其偏差电压经放大器放大后，驱动电机D转动，经减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流增大，发电机的输出电压会升高，从而使偏差电压减小，直至偏差电压为零时，电机才停止转动。因此，图(a)系统能保持110V不变。
图(b)系统，当低于给定电压时，其偏差电压经放大器后，直接使发电机激磁电流增大，提高发电机的端电压，使发电机G 的端电压回升，偏差电压减小，但不可能等于零，因为当偏差电压为 0时，=0，发电机就不能工作。即图(b)所示系统的稳态电压会低于110V。

1-5 图1-4是仓库大门自动控制系统原理示意图。试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。

图1-4 仓库大门自动开闭控制系统
解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1-5所示。

1-6 控制系统分为两种基本形式开环系统和闭环系统。
1-7 负正反馈如何定义？
答：将反馈环节取得的实际输出信号加以处理，并在输入信号中减去这样的反馈量，再将结果输入到控制器中去控制被控对象，我们称这样的反馈是负反馈；反之，若由输入量和反馈相加作为控制器的输入，则称为正反馈。
1-8 若组成控制系统的元件都具有线性特性，则称为线性控制系统。
1-9 控制系统中各部分的信号都是时间的连续函数，则称为连续控制系统。
1-10 在控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号，则称此系统为离散控制系统。

第二章
2-1 试建立图2-1所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。
+

解
（a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出

整理得

（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有
（1）
对B点有

（2）
联立式（1）、（2）可得：

(c) 应用复数阻抗概念可写出
（3）
（4）
联立式（3）、（4），可解得：

微分方程为:
(d) 由图解2-1（d）可写出
（5）
（6）
（7）
联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量和，可得：

微分方程为
2-2 试证明图2-2中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。对A点有
(1)
对B点有
(2)
对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得
=
(b) 由图可写出
=
整理得
=
比较两系统的传递函数，如果设则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程，
式中为液位容器的横截面积，为常数。若与在其工作点附近做微量变化，试导出关于的线性化方程。
解 将在处展开为泰勒级数并取一次近似
（1）
代入原方程可得
（2）
在平衡工作点处系统满足
（3）
式（2），（3）相减可得的线性化方程

2-4 试求图2-3所示各信号的象函数。

解
（a）
=
（b）
=
（c）=

2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。
(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2) 原式 ＝
x（t）＝
(3) 原式 ＝
＝
2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。
解 单位阶跃输入时，有，依题意

2-7 已知系统传递函数 ，且初始条件为，，试求系统在输入作用下的输出。
解 系统的微分方程为
（1）
考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得
（2）

2-8 求图2-4所示各有源网络的传递函数。

解
(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出

(b)
(c)

2-9 某位置随动系统原理框图如图2-5所示，已知电位器最大工作角度＝3300，功率放大器放大系数为。
（1） 分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，；
（2） 画出系统的结构图；
（3） 求系统的闭环传递函数。

解
(1) 电位器的传递函数

根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为
，
(2) 可画出系统结构如图解2-6所示：

(3)

2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-7所示，试求闭环传递函数。

解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

2-11 已知系统方程组如下：

试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。
解 系统结构图如图解2-8所示。
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

2-12 试用结构图等效化简求图2-9所示各系统的传递函数。

解 （a）

所以：
（b）

所以：
（c）

所以：
（d）

所以：
（e）

所以：

2-13 已知控制系统结构图如图2-11所示，求输入时系统的输出。
解 由图可得

又有
则
即

2-14 试绘制图2-12所示系统的信号流图。

解

2-15 试绘制图2-14所示信号流图对应的系统结构图。

解

2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。
解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

（b）图中有2条前向通路，1个回路

（c）图中有1条前向通路，3个回路

（d）图中有2条前向通路，5个回路

（e）图中有2条前向通路，3个回路

2-17 试用梅逊增益公式求图2-16中各系统的闭环传递函数。

解 （a）图中有1条前向通路，4个回路

则有
（b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

则有
（c）图中有4条前向通路，5个回路

则有

（d）图中有2条前向通路，5个回路

则有

（e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

则有
2-18 已知系统的结构图如图2-17所示，图中为输入信号，为干扰信号，试求传递函数，。

解（a）令，求 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。

则有
令，求 。有3条前向通路，回路不变。

则有
（b）令，求 。图中有1条前向通路，1个回路。

则有
令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。

则有
令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。

则有
（c）令，求 。图中有3条前向通路，2个回路。

则有
令，求 。有1条前向通路，回路不变。

则有

2-19 如图2-18所示，已知单位负反馈系统开环传递函数

且初始条件为，。试求：
（1） 系统在作用下的输出响应；
（2） 系统在作用下的静态误差

图2-18
答案：
1． 初始条件为0时，
现
代入，：
当，
则

2．

2-20 系统如图2-19所示

图2-19
求：
(1) 系统的微分方程
(2) 系统的传递函数（系统初值为0）

答案：
应用阻抗法直接求电路的传递函数。
由图2-13所示可知：

第三章
3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 。
试求单位阶跃响应的tr , tm ,δ% , ts的数值？
解：当输入信号r（t）为单位脉冲函数时，则二阶系统单位脉冲响应c（s）为：
C（s）=可知=36 =9 得=6 =0.75 ==4.5 =3.97
=arctan=arctan（6/4.5）=0.93
==(3.14-0.93)/4=0.55(s)
==3.14/3.97=0.79(s)
δ%=p===0.029
对于2%允许误差标准，调整时间为=4/=4/4.5=0.89(s)
对于5%允许误差标准，调整时间为=3/=3/4.5=0.67(s)
3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为

试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。
解：
闭环传递函数
由公式C（s）=可知=1 =1 得=1 =0.5 ==0.5 =0.87
峰值时间==3.14/0.87=15.1(s)
超调量p====0.167
对于2%允许误差标准，调整时间为=4/=4/0.5=8(s)
对于5%允许误差标准，调整时间为=3/=3/0.5=6(s)

3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量=25%，峰值时间=0.5秒，试确定K和τ的值。

X(s) Y(s)

图1
闭环传递：=
由公式C（s）=得= = +1 得==
δ% ==25% 可得=0.4
=====0.5
得：=6.865
K=47.13
带入==得=0.095

3-4 已知系统的结构图如图2所示，若 时，试求：
(1) 当τ=0时，系统的tr , tm , ts的值。
(2) 当τ≠0时，若使δ％=20%，τ应为多大。

100

X(s) Y(s)

图2
解：(1) 由结构图可知闭环传递函数为

可得

由于 输出的拉氏变换为

则拉氏反变换为

(2) 当τ≠0时，闭环传递函数

由

两边取自然对数 ， 可得

故

3-5
(1) 什么叫时间响应
答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
(2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？
答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。
(3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？
答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。
(4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？
答：延迟时间；上升时间；峰值时间；调节时间；最大超调量.,,,反映系统的快速性，即灵敏度，反映系统的相对稳定性。
3-6设系统的特征方程式为

试判别系统的稳定性。
解：
列出劳斯表：

由上表可以看出，第一列各数值都为正值，故系统稳定。

3-7设系统的特征方程式为

列劳斯表

将特征方程式因式分解为

根为
系统等幅振荡，所以系统临界稳定

3-8 单位反馈系统的开环传递函数为

试求k的稳定范围。
解：闭环传递函数可得
D(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+k=0
=0.025 +0.35 +s+k
列出劳斯表

要使系统稳定k>0 , 0.35-0.025k>0必须0<k<14

3-9
(1) 系统的稳定性定义是什么？
答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。
(2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？
答：系统的全部特征根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。
(3) 误差及稳态误差的定义是什么？
答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差e(t)；输入与主反馈信号之差。稳态误差，误差函数e(t)，当t→∞时的误差值称为稳态误差
3-10已知单位反馈随动系统如图3所示。若，。试求：
（1）典型二阶系统的特征参数和；
（2）暂态特性指标和；
（3）欲使，当不变时，应取何值。

图3随动系统结构图

解：(1)闭环传递函数G(s)= =
C（s）=可知=64 =4
得=8 =0.25
（2）p====0.47
=3/=3/2=1.5
（3）当不变时
G(s)= =
δ%=p==0.16
可得
=4K =4
可得 K=2
3-11控制系统框图如图4所示。要求系统单位阶跃响应的超调量，且峰值时间。试确定与的值，并计算在此情况下系统上升时间和调整时间。

图4 控制系统框图
解：由图可得控制系统的闭环传递函数为：

系统的特征方程为。所以

由题设条件：
，
可解得，进而求得

在此情况下系统上升时间
调整时间

3-12设系统的特征方程式分别为1,2,3试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

1．
列出劳斯表：

由第一列不全为正得系统不稳定。又由于第一列系数的符号改变两次，1→-6→5，所以系统有两个根在s平面的右半平面

2．
列出劳斯表：

由第一列不全为正得系统不稳定。由于ε是很小的正数，ε行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。

3．
s5 1 3 2
s4 1 3 2
s3 0 0
由上表可以看出，s3行的各项全部为 零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为
A(s)= s4+3s2+2s0
将辅助方程式A(s)对s求导数得

用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为
s5 1 3 2
s4 1 3 2
s3 4 6
s2 3/2 2
s1 2/3
s0 2
从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s右半平面。但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。

3-13已知系统结构图如图5所示，试确定使系统稳定的值范围。

图5控制系统结构图

令s(s+1)(s+2)+k=0得
列出劳斯表
由第一列全为正要求k>0 6-k>0 可得0<k<6

3-14 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。
（1） （2）
试求：1．静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数；
2．求当输入信号为时的系统的稳态误差
解：（1）
静态误差位置系数
静态速度误差系数
静态加速度误差系数
当输入信号为时的系统的稳态误差
+4/+1/=
(2) 判断系统稳定性。
系统的闭环传递函数为
其闭环特征方程为。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为Ⅱ型，可以求得静态误差为：

所以给定输入信号的稳态误差计算如下：

第四章
4-1．单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的概略根轨迹。
解：系统闭环特征方程为
取复变量，则有

即

若系统闭环特征方程的根为实数，则，解得

因此，当时，根轨迹为复数，。此时必有。代入实部并整理得

这为圆方程，圆心为（-2，0j），半径为
4-2．设某负反馈系统的开环传递函数为，试绘制该系统的根轨迹图。
解：渐近线与实轴的交点
渐近线与实轴正方向的夹角为。
分离点与汇合点：由
得
所以，。根轨迹如下图：

4-3．以知系统开环传递函数试绘制闭环系统的根轨迹。
解：（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，-4，
（2）实轴上的根轨迹区间为。
（3）渐近线有四条。
（4）根轨迹的起始角。复数开环极点
（5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程
解得，皆为根轨迹的分离点。
（6） 系统闭环特征方程为
列写劳斯表，可以求出当K=260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为。解得根轨迹与虚轴的交点。如下图解4－3

4-4．单位反馈控制系统的开环传递函数为，k的变换范围为，试绘制系统根轨迹。
解：分析知道，应绘制零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数：（1）系统开环有限零点为1，开环有限极点为0，-2。
（2）实轴上的根轨迹区间为。
（3）渐近线有一条
（4）确定根轨迹的分离点，由分离点的方程
，解得
（1） 确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为。当k=-2时，闭环特征方程的根为。如下图解4－4：

4-5．以知单位反馈系统的开环传递函数为，a的变化范围为，试绘制系统的闭环根轨迹。
解：系统闭环特征方程为
即有。等效开环传递函数为，，变化范围为。
（1） 等效系统无开环有限零点，开环极点为
（2） 实轴上的根轨迹区间为
（3） 根轨迹有三条渐近线
（4） 根轨迹的分离点方程，解得。
（5） 确定根轨迹与虚轴的交点。由劳斯表，可以求出当a=1时，劳斯表出现全零行，辅助方程为。解得。如下图解4－5

4-6. 设单位反馈控制系统开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹图（要求确定分离点坐标）。
解
系统有三个开环极点：,,
① 实轴上的根轨迹：
,
② 渐近线：
③ 分离点：

解之得：，(舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为
令
解得
与虚轴的交点（0，）。 根轨迹如图解4－9所示。

4-7．设系统开环传递函数

试作出从变化时的根轨迹。

解：做等效开环传递函数
G(s)
①　实轴上的根轨迹：
②　分离点：
解得：(舍去)，
如图解4－14所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。
图解4－14 根轨迹图

第五章
5-1 设一线性系统的传递函数为

5-1
试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。
解 令，代入式（5-1），得

上述结果表明，时，频率特性的幅值，相角。给出不同的频率值，重复上述的计算，就可求得对应的一组和值。据此，也可由下面的MATLAB函数绘制出图5-2所示的幅频特性曲线和相频特性曲线。
function exe51
G=tf(10*[1,1],[1,4,20]；
X=[];Y=[];w=logspace(-1,1,100)；
[x,y,w]=bode(G)；
%X=[X,x'];Y=[Y,y']；
figure(1),plot(w,x(:)),axis([0,10,0,3]),xlabel('频率（弧度）'),ylabel('幅值')；
figure(2),plot(w,y(:)),axis([0,10,-120,40]),xlabel('频率（弧度）'),ylabel('相角')

图5-2所示系统的幅频特性和相频特性

5-2　试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线：

解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节、两个一阶惯性环节和。这三个环节的幅、相频率特性分别为

因而开环系统的幅频特性为

图5-3 开环系统的奈氏图
相频特性为

取不同的频率值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图5-3所示的开环系统的奈氏图。
事实上，MATLAB中有专门的函数Nyquist用于绘制开环系统的极坐标图。
g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))
Transfer function：
10
-------------------
0.1 s^2 + 1.1 s + 1
Nyquist(g)

5-3 已知０型系统、Ｉ型系统和II型系统的开环传递函数分别为
、、
试绘制它们对应的奈氏图。
解 ０型系统的频率特性为

式中：。分别取，计算出不同值时的和，可得图5-15所示的奈氏图。根据第三章劳斯判据可知，时闭环系统稳定，表现在奈氏图上是极坐标图不包围（－1，j0），这与后面将介绍的奈氏稳定判据是一致的。
I型系统的频率特性为

Real Axis
Nyquist Diagrams
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
K=5
K=10
图5-4 K＝5、10时的奈氏图
Imaginary Ax

式中：。将上式改写为

由上式可知，当时，，即；当时，，据此可得图5-5所示的奈氏图。
Ⅱ型系统的开环频率特性为

式中：。将上式改写为

由上式可知，当时，；当时，，与正虚轴相切，据此可得图5-6所示的奈氏图。
由于采用了MATLAB方法，对于I、II型系统在无穷远处的极坐标无法在图中标明，但从图中可以看到，当频率接近零时，对于I型系统，极坐标曲线渐近于平行于虚轴的-10线，而对于II型系统则无此性质，这一点可将幅值频率特性写成实频、虚频形式得到验证。

图5-6 II型系统的奈氏图
图5-5 I型系统的奈氏图

5-4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为

试绘制开环系统的伯德图。
解 1）系统的开环频率特性为

由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为

系统的相频特性为

2）系统的转折频率分别为2和10。
3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段，，则渐近线的斜率为。在处，其幅值为；当时，由于惯性环节对信号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由变为；同理，当时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升，即由变为。
4）对幅频特性曲线进行修正。
5）作系统相频特性曲线，先求，然后叠加。

图5-7 开环系统的频率特性

系统伯德图如图5-7所示。用MATLAB语句绘制Bode图的程序为
% exe5_4
function exe5_4
G=tf(10*[0.1,1],conv([1,0],[0.5,1]))；%得到传递函数
[x0,y0,w]=bode(G)；%由Bode函数获取幅值和相角
[x,y]=bode_asymp(G,w)；%得到转折频率
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)；%画幅频曲线和渐近线
subplot(212),semilogx(w,y0(:))；%现相频曲线
5-5 系统的开环传递函数为

图5-8

试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。
解 当由变化时，曲线如图5-8所示。因为的开环极点为-0.5、-1和-2，在s的右半平面上没有任何极点，即P=0，由图5-39可知，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，因此N＝0，则Z=N+P=0。所以，该闭环系统是稳定的。

5-6　反馈控制系统的开环传递函数为

图5-9
试判别该系统的稳定性。
解 由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，在s平面上的奈氏轨线如图5-9所示。该图的部分在GH平面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆，若将它与图5-9的奈氏曲线相连接，则有N＝2，而系统的P＝0，因而Z＝2，即闭环系统是不稳定的，且有2个闭环极点位于s的右半平面。

5-7　已知系统的开环传递函数为

试分析时间常数和的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。
解　由系统的开环传递函数得

根据以上两式，在，和三种情况下的曲线如图5-43所示。当时，曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当时，曲线通过（-1，j0）点，说明闭环极点位于轴上，闭环系统不稳定。当时，曲线以顺时针方向包围（-1，j0）点旋转两周，这意味着有2个闭环极点位于s右半平面上，闭环系统不稳定。
图5-10

5-8　已知一单位反馈系统的开环传递函数为

试用奈氏判据确定该闭环系统稳定的K值范围。
解　该系统是一个非最小相位系统，其开环系统的幅频特性和相频特性为
GH平面
Im
Re
图5-11 非最小相位系统奈氏图

和惯性环节一样，它的奈氏图也是一个圆，如图5-44所示。由于系统的P＝1，当由变化时，曲线如果以逆时针方向围绕（-1，j0）点旋转一周，即N＝-1，则Z＝1－1＝0，表示闭环系统是稳定的。由图5-11可见，仅当K＞1时映射曲线才会对（-1，j0）点产生围绕，所以系统稳定的条件是K＞1。

5-9　设一时滞控制系统如图5-12所示。已知图中的，试分析滞后时间对系统稳定性的影响。
解　系统的开环传递函数为

图5-12 时滞控制系统
（5-14）
图5-13
图5-13给出了值为0、2、4时的式（5-14）的奈氏曲线。由图可见，当滞后时间时，系统相当于无时滞环节，不包围（-1，j0），闭环系统稳定；当时，刚好经过（-1，j0），系统处于临界稳定状态；当时，包围（-1，j0）点，闭环系统不稳定。可见，时滞时间的增大，对控制系统的稳定性是极为不利的。

5-10 已知单位负反馈最小相位系统A的开环频率特性曲线如图所示，
（1）试求系统A的开环传递函数，并计算相位裕量；
（2）如把曲线1的abc改为ab'c而成为系统B，试定性比较A与B的性能。

（1）系统的传递函数为

由于

得 ，所以传递函数为

相位裕量：

（2）A是Ⅰ型系统，B是Ⅱ型系统，系统B对于阶跃输入和斜坡输入的稳态误差为0，可跟随抛物线函数输入，而系统A对于抛物线函数输入的稳态误差为∞。

5-11 若某二阶环节的 为正值的幅相特性如图所示，图a中A点频率 ， 时幅相特性的实部为-2a，a为大于零的常数。求：
（1）开环传递函数；
（2）若 ，试求 、 、 。
（1）系统开环传递函数为：

由图可知：

所以，系统开环传递函数为：

（2）由于 ，则
由近似对数幅频特性曲线可知：

得：

得

5-12 已知一单位反馈系统的开环传递函数为

试求：（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增益裕量，相位裕量。
解　1）在处的开环频率特性的相角为

即
对上式取正切，由三角函数性质得

得
则在处的开环对数幅值为

则
根据时系统的开环传递函数，可知系统的，从而

该题也可用MATLAB直接求解，其结果见图5-15。
g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))
Transfer function:
1
-----------------------
0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s
margin(g)
图5-15

可见，两者结果完全相同。同样，也可用[Gm,Pm,Wcg,Wcp]＝margin(g)不作图而求出增益裕量Gm和相位裕量Wcg。
2）由题意得，即。在处的对数幅值为

上式简化后为

得
　　根据的要求，有

即

得
于是
即
得
不难看出，K取2.5就能同时满足和的要求。
5-13已知二个控制系统的传递函数分别为
系统I：，系统Ⅱ：
试比较两个系统带宽的大小，并验证具有较大带宽的系统比具有较小带宽的系统响应速度快，对输入信号的跟随性能好。
图5-16a 两系统的闭环对数幅频特性
图5-16b 两系统的单位阶跃响应曲线
解 图5-16a为上述两系统的闭环对数幅频特性曲线，可见，系统I的带宽为，系统Ⅱ的带宽为，即系统I的带宽是系统Ⅱ带宽的三倍。图5-16b给出了两系统的阶跃响应曲线。显然，系统I较系统Ⅱ具有较快的阶跃响应，并且前者跟踪阶跃输入的性能也明显优于后者。

在设计系统时，应注意到较大的带宽虽然能提高系统响应的速度，但也不能过大，否则因其高通滤波的性质，降低系统过滤高频噪声的能力，因此频带宽度的选取应互相兼顾。

5-14某一阶环节的 为正值的幅相特性曲线如图所示，写出其传递函数。

解：设一阶环节的传递函数为：

则由图可知：

所以，

5-15已知系统的开环传递函数为

应用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。

解：系统的开环频率特性为：

奈氏曲线顺时针包围点 一周，且 ， ，闭环系统不稳定。
5-16 设开环系统Nyquist曲线如下图所示,要求(1)判断闭环系统稳定性,并简要说明理由。(2)如系统不稳定,试求出位于s右半平面的闭环极点数。

解：（a）Nyquist曲线逆时针包围（-1，0j）2次,N=-2,P=2,z=N