实数的概念及分类.doc

6.3 《实数的概念及分类》导学案
教学目标：
认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类，
2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。
过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，
2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。
情感目标： 经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。
教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类；
教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系
教学过程：
【知识回顾，创设情境】
1、把下列各数按要求填在横线上：

整数 ；分数 ；正数
2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流 。
【合作交流，探究新知】
有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3= ，= ，= ，= ，= =
我们发现，上面的有理数
归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？
验证：下列有限小数能化为分数吗？ 5、2.3、0.25、1.334
.
无限循环小数能转化为分数吗？
阅读下列材料
设x=0.3=0.333…①
则10x＝3.333… ②
则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3
结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数
拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数
【活动1】无理数的概念
问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方根是这样的小数，如=3.1415926552374…，1.101001000100001.…，=1.414213562373…
这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢？
记忆：他们不能转化为分数形式，它们不是有理数
定义： 叫无理数（板书：无限不循环小数叫无理数）
常见的无理数有哪些主要类型
①开不尽方的数，但比如 则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数;
③圆周率及一些含有π的数
【活动2】无理数与数轴上点的对应关系
问题：我们知道有理数能用数轴上的点来表示，那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？
探究1：.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′的坐标是

探究2：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长画正方形，则对角线的长度就是，以原点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。

归纳：每一个无理数都可以用数轴上的 点表示出来。
但是，数轴上的点有些表示____，有些表示___。
理解：下列说法对吗？不对的请改正。
(1)无理数都是无限小数.
(2)带根号的数是无理数.
(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数.
应用：在这些数5，3.14，0， ，　， 0.57 ， ，
- π，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．
有理数是 ；无理数是 ；整数有 ：分数有
【活动3】实数的概念及分类
定义： 统称为实数（板书：有理数和无理数统称实数）
分类：按照定义分类如下：

按照正负分类如下：

实数

活动4．实数与数轴上点的对应关系
1、每一个无理数都可以用数轴上的__表示出来，
每一个有理数都可以用数轴上的 __表示出来
2、这就是说，数轴上的点有些表示____，有些表 示___。
3、因此，当数从有理数扩充到实数以后，每一个 实数都可以用数轴上的 来表示；反过来， 数轴上的 都是表示一个实数。也就是说实数与数轴上的点就是 的关系。
【应用举例，巩固拓展】
例1、把下列实数按要填在相应的集合中

①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④整数集合：｛ …｝．
点拨：无理数的特征①开不尽方的数，但比如则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数：
③圆周率及一些含有的数
例2、写出一个3到4之间的无理数
点拨1：按无理数的概念来构造：
点拨2:利用算术平方根的意义3=，4=
例3、如图，数轴上表示1 、 的对应点 分别为A、B，点B关于点A的对称点为点C，则C点表示的数是
B
A
C

点拨：①计算AB两点间的距离②利用点的对称性得AC两点间的距离
【知识小结，反思提高】
１．通过今天的学习,用你自己的话说说你对下列三个问题的理解？
问题1 举例说明无理数的特点是什么？
问题2 实数是由哪些数组成的？
问题3 实数与数轴上的点有什么关系？
２．你的困惑是什么？请与同学们交流。
【课堂检测，提升能力】
１．判断正误，并说明理由．
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸实数包括正实数、0、负实数；
2、把下列各数分别填在相应的括号里：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
①有理数（ ）；　
②分数（ ）；
③正实数（ ）；
　④非负整数（ ）．
3、观察数据，按规律填空,, , , …, (第n个数)
4、满足—＜x＜的整数X是
【课堂作业，巩固提高】
教材第57页： 习题6.3: 1,2