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第2章 平面汇交力系与平面力偶系
2-1(2-3) 物体重P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图a所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、杆AB与CB自重及摩擦略去不计，A，B，C三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，求拉杆AB和支杆CB所受的力。
(a) (b)
图2-3
解 取支架、滑轮及重物为研究对象，坐标及受力图b。由平衡
将FT=P=20 kN代入上述方程，得
（拉）， （压）
2-2(2-5) 在图a所示刚架的点B作用一水平力F，刚架重量不计。求支座A，D的约束力。
(a) (b)
图2-5
解 研究对象：刚架。由三力平衡汇交定理，支座A的约束力FA必通过点C，方向如图b。取坐标系，由平衡
（1）
（2）
式(1)，(2)联立，解得
，
2-3(2-7) 图a所示液压夹紧机构中，D为固定铰链，B，C，E为活动铰链。已知力F，机构平衡时角度如图，求此时工件H所受的压紧力。
(a) (b) (c) (d)
图2-7
解 （1）轮B，受力图 b。由平衡
（压）
（2）节点C，受力图c。由图c知，，由平衡
，
（3）节点E，受力图d
即工件所受的压紧力
2-4(2-9) 铰链4杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1，F2作用，如图a所示。该机构在图示位置平衡，不计杆自重。求力F1与F2的关系。
(a) (b) (c)
图2-9
解 (1) 节点A，坐标及受力图b，由平衡
， （压）
（2）节点B，坐标及受力图c，由平衡
即 ﹕
2-5(2-13) 图a所示结构中，各构件自重不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束力。
(a) (b) (c)
图2-13
解 （1）BC为二力杆： （图c）
（2）研究对象AB，受力图b，构成力偶，则
，，
2-6(2-15) 直角弯杆ABCD与直杆DE及EC铰接如图a，作用在杆DE上力偶的力偶矩,不计各杆件自重，不考虑摩擦，尺寸如图。求支座A，B处的约束力和杆EC受力。
(a) (b) (c)
图2-15
解 （1）EC为二力杆，杆DE受力图b
（2）整体，受力图c。为构成约束力偶与外力偶M平衡，有
，
2-7(2-17) 在图a所示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M；另在滑块D上作用水平力F。机构尺寸如图，各杆重量不计。求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。
(a) (b) (c) (d)
图2-17
解 （1）杆AO，受力图b
， ， （1）
（2）节点B，受力图c
，
式（1）代入上式，得
(2)
（3）滑块D，受力图d
，
式（2）代入上式，得
第3章 平面任意力系
3-1(3-9) 飞机起落架，尺寸如图a所示，A，B，C均为铰链，杆OA垂直于A，B连线。当飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力，水平摩擦力和各杆自重都比较小，可略去不计。求A，B两处的约束力。
（a） (b)
图3-9
解 图b，杆BC为二力杆，沿BC。
，
（拉）
，
，
3-2(3-13) 由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如图a所示。已知，，不计梁的自重。求支座A，B，D的约束力和铰链C受力。
(a) (b) (c)
图3-13
解 （1） 梁CD，受力图c
，
，，
（2）梁AC，受力图b
，
，，
3-3(3-19) 构架由杆AB，AC和DF铰接而成，如图a所示，在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶。各杆重量不计，求杆AB上铰链A，D和B受力。
(a) (b) (c) (d)
图3-19
解（1）整体，受力图b
(↓)
(2) 杆DE，受力图c
(↓)
（3）杆ADB，受力图d
， (↓)
3-4(3-21) 图a所示构架中，物体重P=1 200 N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图。不计杆和滑轮的重量，求支承A和B的约束力，以及杆BC的内力FBC。
(a) (b) (c)
图3-21
解 （1）整体，受力图b。绳索拉力
N
， N
，
N
， N
(2) 杆CE，滑轮E及重物P为研究对象，受力图c
N (压)
3-5(3-23) 图a所示构架中，力，各尺寸如图，不计各杆重量，求铰链A，B，C处受力。
(a) (b) (c)
图3-23
解 （1）杆DEF，受力图b
， （1）
(2) 杆ABC，受力图c
， (2)
式（1），（2）联立，解得
（拉）， （压）
，， (←)
3-6(3-25) 如图a所示，用3根杆连接成一构架，各连接点均为铰链，B处的接触表面光滑，不计各杆的重量。图中尺寸单位为m。求铰链D受力。
(a) (b)
(c) (d)
图3-25
解 （1）整体，受力图b
，， (1)
， (2)
， (3)
(2) 杆DB，受力图c
， （4）
(3) 杆AE，受力图d
， (5)
式（1），（2），（3）代入（4），（5），解得
，
3-7(3-27) 在图a所示构架中，各杆单位长度的重量为30 N/m，载荷，A处为固定端，B，C，D处为铰链。求固定端A处及铰链B，C处的约束力。
(a) (b) (c) (d)
图3-27
解 (1) 整体，受力图b
，
，，
，，
（2）杆CD，受力图c
，
（3）杆ABC，受力图d。由已知
，
，
，
3-8(3-35) 平面桁架的支座和载荷如图a所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力F。
(a) (b) (c) (d)
图3-35
解 （1）节点E，受力图d，因与同一条直线上，故
(2) 桁架沿截面mm截开（图b），取右半部，得受力图c
，
（压）
第4章 空间力系
4-1 力系中，F1=100 N，F2=300 N，F3=200 N，各力作用线的位置如图。试将力系向原点O简化。
解 由题意得
主矢 ，
主矩 ，
4-2(4-5) 轴AB与铅直线成角，悬臂CD与轴垂直地固定在轴上，其长为a，并与铅直面zAB成角，如图a所示。如在点D作用铅直向下的力F，求此力对轴AB的矩。
(a) (b)
图4-5
解 将力F分解为F1，F2，F1垂直于AB而与CE平行，F2平行于AB如图b，这2个分力分别为：
，
4-3(4-7) 空间构架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图a所示。A，B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10 kN，求铰链A，B和C的约束力。
(a) (b)
图4-7
解 取节点D为研究对象，设各杆受拉，受力如图b。平衡：
， （1）
， （2）
， （3）
P=10 kN
解得
（压）（拉）
4-4(4-9) 图a所示空间桁架由杆1，2，3，4，5和6构成。在节点A上作用1个力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10 kN，求各杆的内力。
(a) (b)
图4-9
解 (1) 节点A为研究对象，受力及坐标如图b
， （1）
， （2）
， （3）
解得
，
（2）节点B为研究对象，受力如图b
， （4）
， （5）
， （6）
解得
（拉），（压）
4-5(4-15) 某减速箱由3轴组成如图a所示，动力由轴I输入，在轴I上作用转矩M1=697 N•m。如齿轮节圆直径为D1=160 mm，D2=632 mm，D3=204 mm，齿轮压力角为20°。不计摩擦及轮、轴重量，求等速传动时，轴承A，B，C，D的约束力。
(a) (b) (c)
图4-15
解 （1）研究对象为轴AB，受力图b
， ，
，
，，
，，
，，
，，
（2）研究对象为轴CD，受力图c
，
，
，，
，
，，
4-6(4-17) 如图所示，均质长方形薄板重P=200 N，用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置。求绳子的拉力和支座约束力。
(a) (b)
图4-17
解 取薄板为研究对象，受力如图b。尽量采用力矩式求解。
，，
，，
，，
，，
，，
，，
4-7(4-21) 杆系由球铰连接，位于正方体的边和对角线上，如图a所示。在节点D沿对角线LD方向作用力FD。在节点C沿CH边铅直向下作用F。如球铰B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。
(a) (b)
图4-21
解 (1) 节点D为研究对象，受力图b
，， （拉）
，， （拉）
，， （压）
(2) 节点C为研究对象，受力图b
， ， （拉）
， ， （压）
， ， （压）
4-8(4-23) 工字钢截面尺寸如图a所示，求此截面的几何中心。
(a) (b)
图4-23
解 把图形的对称轴作轴x，如图b，图形的形心C在对称轴x上，即
4-9(4-25)均质曲杆尺寸如图所示，求此曲杆重心坐标。
图4-25
解
第5章 摩 擦
5-1 如图a所示，置于V型槽中的棒料上作用一力偶，力偶的矩时，刚好能转动此棒料。已知棒料重，直径，不计滚动摩阻。求棒料与V形槽间的静摩擦因数fs。
(a) (b)
图5-1
解 圆柱体为研究对象，受力图b，Fs1，Fs2为临界最大摩擦力：
， （1）
， （2）
， （3）
临界状态摩擦定律：
（4）
（5）
以上5式联立，化得
代入所给数据得
方程有2根：
（不合理）， （是解）
故棒料与V形槽间的摩擦因数
5-2(5-3) 2根相同的匀质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A，C端放在不光滑的水平面上，如图a所示。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦因数。
(a) (b)
图5-3
解 由于结构对称与主动力左右对称，约束力也对称，只需取一支杆AB为研究对象，受力图b，临界平衡时，A端达最大静摩擦力，设AB=BC=l，则
， （1）
， （2）
临界摩擦力：
（3）
解得
5-3(5-7) 轧压机由两轮构成，两轮的直径均为，轮间的间隙为，两轮反向转动，如图a上箭头所示。已知烧红的铁板与铸铁轮间的摩擦因数，问能轧压的铁板的厚度b是多少？
提示：欲使机器工作，则铁板必须被两转轮带动，亦即作用在铁板A，B处的法向反作用力和摩擦力的合力必须水平向右。
(a) (b)
图5-7
解 板主要受力为两轮的正压力，及摩擦力，，如图b。由于两轮对称配置，可设
，
合力水平向右，即
≥0， ≥
又由摩擦定律
比较上2式，可见
由几何关系
得
，
将展开，略去项及其后各项，可得
5-4(5-9) 砖夹的宽度为0.25 m，曲杆AGB与GCED在点G铰接，尺寸如图a所示。设砖重P=120 N，提起砖的力F作用在砖夹的中心线上，砖夹与砖间的摩擦因数，求距离b为多大才能把砖夹起。
(a) (b) (c)
图5-9
解 （1）整体为研究对象，受力图a，由图a：
（2）砖块为研究对象，受力图b
， （1）
， （2）
补充方程：
， （3）
解得
，
（3）曲杆AGB为研究对象，受力图c
，
以P，Fs1，FN1值代入，解得
5-5(5-11) 图a所示2无重杆在B处用套筒式无重滑块连接，在杆AD上作用一力偶，其力偶矩，滑块和杆AD间的摩擦因数，求保持系统平衡时力偶矩的范围。
(a) (b) (c)
图5-11
解 （1）研究对象为杆AD，受力图b
，，
（1）
（2）
（2）研究对象为杆CB，受力图c
， （3）
式（1），（2）代入式（3），得
当较小时，摩擦力与图示反向，此时式（1），（2）不变，式（3）变为
5-6(5-13) 机床上为了迅速装卸工件，常采用如图a所示的偏心轮夹具。已知偏心轮直径为D，偏心轮与台面间的摩擦因数为。现欲使偏心轮手柄上的外力去掉后，偏心轮不会自动脱落，求偏心距应为多少？各铰链中的摩擦忽略不计。
(a) (b)
图5-13
解 忽略偏心轮重量，则偏心轮保持平衡相当于二力杆，由自锁条件如图b受力得
，
5-7(5-19) 一半径为R，重为P1的轮静止在水平面上，如图a所示。在轮上半径为r的轴上缠有细绳，此细绳跨过滑轮A，在端部系一重为的物体。绳的AB部分与铅直线成角。求轮与水平面接触点C处的滚动摩阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反作用力。
(a) (b)
图5-19
解 (1) 取重物为研究对象，显然绳中张力
（2）取轮子为研究对象，受力如图b。图中Mf为滚阻力偶矩。设轮子处于平衡状态。平衡方程：
， （1）
， （2）
， （3）
式（1），（2），（3）联立，解得
，，
5-8(5-21) 如图a所示，钢管车间的钢管运转台架，依靠钢管自重缓慢载无滑动地滚下，钢管直径为50 mm。设钢管与台架间的滚动摩阻系数。试决定台架的最小倾角应为多大？
(a) (b)
图5-21
解 钢管为研究对象，受力及坐标系如图b。在倾角时钢管刚能慢慢滚下，即是使钢管产生滚动的最小倾角，认为在角时钢管仍平衡，平衡方程为：
， （1）
， （2）
， （3）
由式（1），（2）得
由式（3）得
比较式（4），（5）得
5-9(5-23) 图中均质杆AB长l，重P，A端由一球形铰链固定在地面上，B端自由地靠在一铅直墙面上，墙面与铰链A的水平距离等于a，图中平面AOB与的交角为。杆AB与墙面间的摩擦因数为，铰链的摩擦阻力可不计。求杆AB将开始沿墙滑动时，角应等于多大？
(a) (b)
图5-23
解 杆AB为研究对象，受力及坐标系如图b。由于杆长不变，AO与墙垂直，杆端B在墙上只能沿以O为圆心的圆周滑动，此圆的半径为
（1）
点B的摩擦力只能沿圆的切向，且与水平面夹角。
， （2）
摩擦定律：
（3）
解式（1），（2），（3）联立，得
第5章 点的运动学
5-1 图示曲线规尺的各杆，长为，，如杆OA以等角速度绕轴O转动，并且当运动开始时，杆OA水平向右，求尺上点D的运动方程和轨迹。
解 如图所示，则点D坐标为
代入数据，得到点D的运动方程
(1)
(2)
改写为
(3)
(4)
式（3），（4）两边平方后相加得点D轨迹方程
（坐标单位：mm）
点D轨迹为中心在（0，0），长半轴为0.2 m，短半轴为0.1 m的椭圆。
5-2(5-3) 如图a所示，半圆形凸轮以等速沿水平方向向左运动，而使活塞杆AB沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径，求活塞上A端相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度。
(a) (b)
图5-3
解 （1）A相对于地面运动。
① 把直角坐标系固结在地面上，如图b，则点A相对地面的运动方程
（）
② 点A相对地面的速度
，
(2) 点A相对于凸轮运动
① 把直角坐标系固结于凸轮上，则点A相对凸轮的运动方程：
（）
② 点A相对于凸轮的速度
5-3(5-5) 套管A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速v0拉下，忽略滑轮尺寸，求套管A的速度和加速度与距离x的关系式。
解 设绳索AB原长，在任意瞬时长度为s，则
， （1）
由几何关系：
， （2）
由式（1），（2）解得：
① 套管A的速度
v=
② 套管A的加速度
5-4、5-5(5-7) 图a所示摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上。摇杆绕轴O以等角速度转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。
(a) (b)
图5-7
解 （1）直角坐标法
建立如图b直角坐标系，由于
则
故点M的运动方程为
其速度
其加速度
（2）自然法
当时，点M位于点M0处，以M0为弧坐标M0 M的原点，见图b。
点M运动方程
点M的速度
点M的加速度
，
5-6(5-9) 曲柄OA长，在平面内绕轴O转动，如图所示。杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄OA铰接于点A。设，杆AB长，求点B的运动方程、速度和加速度。
解
即
5-7(5-11) 小环M由作平动的丁字形杆ABC带动，沿着图示曲线轨道运动。设杆ABC的速度v=常数，曲线方程为。求环M的速度和加速度的大小（写成杆的位移x的函数）。
解 由题图得环M的运动方程
速度
，
加速度
，
5-8(5-12) 如图所示，一直杆以匀角速度绕其固定端O转动，沿此杆有一滑块以匀速滑动。设运动开始时，杆在水平位置，滑块在点O。求滑块的轨迹（以极坐标表示）。
解 以为原点，建立极坐标，点M运动方程为：
，
由上2式消去t得轨迹方程：
第6章 刚体的简单运动
6-1 图a所示曲柄滑杆机构中，滑杆有一圆弧形滑道，其半径，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA=100 mm，以等角速度绕轴O转动。求导杆BC的运动规律以及当轴柄与水平线间的交角为30°时，导杆BC的速度和加速度。
(a) (b)
图6-1
解 建立坐标轴Ox，如图b。导杆上点O1的运动可以代表导杆的运动，点O1的运动方程：
对时间t求导得
当时，
6-2(6-3) 已知搅拌机的主动齿轮O1以的转速转动。搅杆ABC用销钉A，B与齿轮，相连，如图所示。且，，各齿轮齿数为，，，求搅杆端点C的速度和轨迹。
解 为平行四边形，搅杆ABC作平移，点C的运动参数与点A相同，显然点A的轨迹为1个半径为的圆。
6-3(6-5) 如图所示，曲柄CB以等角速度绕轴C转动，其转动方程为。滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。设，。求摇杆的转动方程。
解1 曲柄和摇杆均作定轴转动。由知
得
注意到，得
解2 自B作直线BD垂直相交CO于D，则
6-4(6-7) 车床的传动装置如图所示。已知各齿轮的齿数分别为：，，，；带动刀具的丝杠的螺距为。求车刀切削工件的螺距。
解 根据齿轮传动比，得
\，，
故得
6-5(6-9) 图示机构中齿轮1紧固在杆AC上，，齿轮1和半径为的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动且和曲柄没有联系。设，，试确定时，轮2的角速度和角加速度。
解 AB平移，所以轮B上与轮2接触点D处：
，
因为轮1，2啮合，所以轮2上点D速度与轮1上点D速度相同，切向加速度也相同。
，
，
6-6(6-11) 杆AB在铅垂方向以恒速v向下运动并由B端的小轮带着半径为R的圆弧OC绕轴O转动。如图a所示。设运动开始时，，求此后任意瞬时t，OC杆的角速度和点C的速度。
解 ，
又 ，（↓）
由图b，得
，
第7章 点的合成运动
7-1(7-5) 杆OA长，由推杆推动而在图面内绕点O转动，如图a所示。假定推杆的速度为，其弯头高为 。求杆端A的速度的大小（表示为推杆至点O的速度的函数）。
解 直角推杆上与杆AO接触点B为动点，动系固结于AO；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆OA直线运动。点B速度分析如图b,设OA角速度为,则
，，
以 代入上式得
最终得
方向如图。
7-2、7－3（7-7） 在图a和b所示的2种机构中，已知，。求图示位置时杆的角速度。
(a) (b) (a1) (b1)
解 （a）套筒A为动点，动系固结于杆；绝对运动为绕的圆周运动，相对运动为沿直线，牵连运动为绕定轴转动。速度分析如图a1,由速度合成定理
因为为等腰三角形，故
，，，
由图a1：
得
（逆）
（b）套筒A为动点，动系固结于杆；绝对运动为绕圆周运动，相对运动为沿杆直线运动，牵连运动为绕定轴转动。速度分析如图b1。
，
由图b1：
得
（逆）
7－4（7-9） 如图a所示，摇杆机构的滑杆以等速向上运动，初瞬时摇杆水平。摇杆长，距离。求当时点C的速度的大小。
(a) (b)
图8-9
解 套筒A为动点，动系固结于杆OC；绝对运动为上下直线，相对运动沿OC直线，牵连运动为绕O定轴转动。速度分析如图b，设杆OC角速度为，其转向逆时针。由题意及几何关系可得
（1）
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