一元二次方程的几何应用.docx

实际问题与一元二次方程
面积问题
一、选择题
1.有一张画的尺寸是12×18，要在它的四周镶上一样宽的银边.如果使银边的面积正好与画面积相等，那么银边应当有多宽？设银边的宽为，根据题，如下四个方程中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2.小明家的饭桌桌面是一个长方形，其长为150㎝，宽为80㎝，现要在桌面上铺一块桌布，已知桌布的面积是桌面面积的2倍，全桌面四周垂下的边均为㎝，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.有一个面积为16㎝2的梯形，它的一条底边长为3㎝，另一条底边长比它的高线长1㎝，若设这条底边长为㎝，依据题意，列出整理后得（ ）
A. B.
C. D.
4.从一块正方形的铁版上剪掉2㎝宽的长方形铁片，剩下的面积是48㎝2，则原来铁片的面积为（ ）
A.64㎝2 B.100㎝2 C.121㎝2 D.144㎝2
二填空题
5.用22㎝长的铁丝折成一个面积为30㎝2的矩形，若这个矩形的长为㎝，依题意可列一元二次方程 .
6.如图①，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），
把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？
设宽为m，从图②的思考方式出发列出的方程是 ；

①
②

三、解答题
7. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

8. 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

9. 某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下：阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．
（1）设一块绿化区的长边为m，写出工程总造价与的函数关系式（写出x的取值范围）．
（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．（参考值： ≈1.732），

参考答案
1.D；2.A；3.A；4.A；5. ；
6. ；
7.解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． 
根据题意可得，x（50﹣2x）=300， 
解得：x1=10，x2=15， 
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
8.设小道进出口的宽度为x米,根据题意有：
（30-2x）（20-x）=532．
整理得：x2-35x+34=0．
解得：x1=1,x2=34．（∵34＞30,∴不合题意,舍去）
∴x=1．
∴小道进出口的宽度应为1米
9.解：（1）矩形的宽为  =x﹣10，
∴y=50·x（x﹣10）·4+60[100×80﹣4x（x﹣10），
即：y=﹣40x 2 +400x+480000，
∵x>0，x﹣10>0，50≤100﹣2x≤60，
即：x的取值范围是20≤x≤25．
答：工程总造价y与x的函数关系式是y=﹣40x 2 +400x+480000，x的取值范围是20≤x≤25；
（2）46.9万元=469000元，
根据题意得：﹣40x 2 +400x+480000≤469000，
即：（x﹣5） 2 ﹣300≥0，
解得：x≤﹣12.32，或x≥22.32，
∵由（1）知20≤x≤25，22.32≤x≤25，
∴x能取23、24、25．
所以只有3种方案：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；
③当x=25时，y=445000．
答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务．x为整数的所有工程方案是：
①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=445000．