第三章 关系代数与关系运算.doc

第三章 关系代数与关系运算
关系数据语言有三类：
1．关系代数语言
2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）
3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言 如SQL
一．关系代数
关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果
运算三要素：运算符、运算对象、运算结果
关系代数的运算对象和结果都是：关系
关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符
集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）
传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行
专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除
专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列
比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠
逻辑运算符：￢∧∨
用来辅助专门的关系运算符

二．传统的集合运算符
传统集合运算符是二目运算符
设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域
1．并（Union）
记作：RUS={t|t∈R∨t∈S} 结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：

（a） （b）

（c） （d） (e)
2.差
关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。 如图E
3.交
关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R ∧t∈S } 结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。如图D 可以用差来表示 R∩S=R-(R-S)
4．广义笛卡尔积
两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作
R×S = { trts | tr∈R ∧ts∈S } 结果是m+n目
如图例

总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
三．专门的关系运算符
包括选择、投影、连接、除等，为叙述上方便引入几个记号
1）设关系模式为R(A1,A2,…，An)。它的一个关系为R。t∈R表示t是R的一个元组。t［Ai］则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。
例： 关系R（A,B,C）中 t[B2]=b2

2）若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列。t［A］=（t［Ai1］，t［Ai2］…，t［Aik］）表示元组t在属性列A上诸分量的集合。A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。
3)R是n目关系，S是m目关系。tr∈R，ts∈S，trts 称为元组的连接（Concatenation）。它是一个 n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个 n元组，后m个分量为S中的一个m元组。具体例的后面讲解
4）给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组，定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：
Zx ={ t［Z］ | t ∈ R，t[X] = x }
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。
如：Z=(B,C) R=(A,Z), x=a1则 Zx={(b1,c1)(b2,c2)}

1.选择（selection）:又称限制，是在关系R中选择满足给定条件的元组
记作：бF（R）= { t | t ∈ R ∧ F(t) =’真’ }
F：表示选择条件，是一个逻辑表达式，逻辑值只有“真”和“假”，由逻辑运算符连接算术表达式组成。
算术表达式基本形式：X1 θ Y1 ，其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，=或≠。X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。

例：学生—课程数据库，
包括学生关系Student（学号、姓名、性别、年龄、所在系），
课程关系Course(课程号，课程名，先行课，学分)
选修关系SC(成绩)
画出上面数据库中的E-R图，先由学生画出，然后给出结果 E-R图结果如下：

根据E-R图设计其表如下：

（a）

（b）

（c）
下面的例子要现场建立一个数据表,在SQL SERVER中测试查询语句。
例1：查询信息系统（IS系）全体学生
σSdept=’IS’(Student) 或 σ5=’IS’(Student)
其中下角标“ 5”为 Sdept的属性序号。结果如图

对应SQL语句为：SELECT * FROM Student where Sdept=”IS”;

例2：查询年龄小于20岁的学生
σSage<20 (Student) 或σ4<20(Student) 结果如下图

对应的SQL语句为：SELECT * FROM Student WHERE Sage<20;
2.投影（从列的角度进行运算）
关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系：记作πA（R）= { t[A] | t∈R }，其中A为R中的属性列。查询结果会取消有重复的列
例3：查询学生的姓名和所在系，即求Student关系在学生姓名和系上的投影。
代数式为：πSname,Sdept（Student） 或 π2, 5（Student），结果如图：

对应的SQL语句为：SELECT Sname,Sdept FROM Student
例4：查询学生关系中有哪些系？
代数式为：πSdept（Student） 或 π5（Student），结果如上图：
对应的SQL语句为：SELECT Sdept FROM Student
3．连接（又称θ连接）
它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间的满足一定条件的元组。
记作：
期中A和B分别为R和S上度数相同且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的广义笛卡尔积RxS中选取在A属性祖上的值与在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
重要两种的连接：等值连接（equijoin）、自然连接(natural join)
1)等值连接：θ为“=“的连接运算，是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A,B属性值相等的那些元组，即：
2）自然连接：一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组B,则自然连接可记作：
一般的连接从行的角度，自然连接要取消重复列，是从行和列的角度进行运算。
连接对应后面的SQL语句的嵌套查询等
例：有关系关系R和关系 S如图（a）(b) ，则 如图（c）等值连接的结果为图（d），自然连接结果为（e）

（a） （b） （c）

（d） （e）
4．除——从行和列的角度进行运算
给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X),P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。
记作： 其中Yx为x在R中的象集x=tr[X].

例6：关系R和S如图

(a) (b) (c)
对应概念中有R(A,Y)和S(Y,D)其中， Y为属性列组（B,C）
关系R中A可以取四个值{a1,a2,a3,a4}其中
a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}
a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}
a3的象集为{(b4,c6)}
a4的象集为{(b6,c6)}
S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}
a1的象集(B,C)a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，故R÷S={a1}

Cno
1
3

综合练习：
例7：查询至少选修1号课程和3号课程的学生学号.
先建立一个临时关系K，然后求：πSno,Cno(SC)÷K 结果为{95001}
例8：查询选修了2号课程的学生的学号
πSno(бcno=’2’(SC))={ 95001,95002 }
例9：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生的姓名
分解：先查询先行课为5号课程的课程，然后再查询选修的学生
πSname,(бCpno=’5’(Course) |×| SC |×|πSno,Sname(Student))
或
πSname,( πSno(бCpno=’5’(Course) |×| SC) |×|πSno,Sname(Student))
例10：查询选修了全部课程的学生学号和姓名
πSno,Cno(SC) ÷ πCno(Course) |×| πSno,Sname(Student)
课下练习、作业
总结：掌握各种运算符的运算规则和使用方法
四、关系演算只要给学生讲解概念就可，具体的运算语言不作讲解
关系演算以数理逻辑谓词为基础的。
分为：元组关系演算和域关系演算
以元组为变量的关系演算称为元组关系演算
以域为变量的关系演算称为域关系演算
对应的典型语言分别是元组关系演算语言ALPHA、域关系演算语言QBE(Query By Example)

作业：80页课后习题5、6

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