离散数学习题解第二部分(代数系统).doc

离散数学习题解
第二部分
代数系统
习题四 第四章代数系统

1．设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算
a）+={（x，y），z|x，y，zI且z=x+y}
b）－={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x－y}
c）×={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x×y}
d）/={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x/y}
e）R={（（x，y），z）|x，y，zI且z=xy}
f）={（（x，y），z）|x，y，zI且z= }
g）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）}
h）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）}
i）GCD = {（（x，y），z）|x，y，zI且z= GCD（x，y）}
j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I且z= LCM（x，y）}
[解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2→I是I上的一个二元运算。
b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2→I是I上的一个二元运算。
c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2→I是I上的一个二元运算。
d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。
e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 –2==；若x=y=0，则z=xy=0，则z=；
g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2→I是I上的一个二元运算。
h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2→I是I上的一个二元运算。
i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2→I是I上的一个二元运算。
j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2→I是I上的一个二元运算。
注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。
2．设X={x | x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？
[答] 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，使x1+x2=2+22=6X。
普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=X，x2=X，这里n1，n2N，都有x1·x2=·=X（因为n1+n2∈N）。
3．设<X，* >是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素el∈X，使，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。
a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。
b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。
[解] ：a) 构造代数系统<X，>如下：
令X={a，b，c，d}，*：X×→X→X，其运算表如下：

*
a
b
c
d
a
d
a
b
c
b
a
b
c
d
c
a
b
c
c
d
a
b
c
d

则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。
b) 构造代数系统<X，* >如下：
令X={1，2，3，4} *： X×→X→X，其运算表如下：

*
1
2
3
4
1
1
2
4
3
2
2
1
3
4
3
3
4
1
2
4
4
4
2
3

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。
c) [证] 因为代数系统<X，*>关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈X 则
el = el * er = er∈
4．设<X，*>是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素Ol∈X，使"x∈X，有Ol*x=Ol是关于*的左零元。若有元素Or∈X，使"x∈X，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。
a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。
b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。
c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。
[解] a) 构造代数系统<X，*>如下：
令X={a，b，c}，*：X×X→X，其运算表如下：

*
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
b
c
a

则a和b都是左零元，但没有右零元。
b) 构造代数系统<X，*>如下：
令X={1，2，3}，*：X×→X→X，其运算表如下：

*
1
2
3
1
2
3
3
2
3
1
3
3
1
2
3

则3是右零元，但没有左零元。
c) [证] 因为代数系统<X，*>关于*运算存在着左、右零元，Ol，Or∈X，则
Ol=Ol*Or=Or
5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。
[答] 在一个代数系统<X，*>中，
1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈X，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。
2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。
3） 运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。
4） 运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。
5） 若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y，使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。
6．设<X，*>是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x，若存在y∈X，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z∈X，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

*
a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
b
b
d
a
c
d
c
c
a
b
a
b
d
d
a
c
d
c
e
e
d
a
c
e

[解] a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。
7．设<X，*>是代数系统，*是X上的二元运算。"x，y∈X，有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。
[解] a) *运算满足结合律
因为对任何x，y，z∈X，都有
x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z
b) *运算不满足交换律
因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y * x。
c) 没有幺元
因为若有幺元e∈X存在，则对任何x∈X，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x ≠ e，矛盾。
d) 没有零元，仿c) 保证。
e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。
并且若存在一个元素a∈X，使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）
8．设<N，*>是代数系统，*是N上的二元运算，"x，y∈N，x * y=LCM（x，y）。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。
[解] a) *运算满足结合律
因为，对于任何x，y，z∈N，
（x*y）* z =LCM (（x * y），z)
= LCM (LCM（x，y），z)
= LCM (（x，y，z）
= LCM (（x，（y * z）
= LCM (（x * y），z)
= x * (y * z)
注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：
设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z），
C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此
由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2，y |C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有d≤C2于是d |C2（否则C2=kd+r，0＜r＜d，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1≤C2。
另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可 知C2≤C1。
所以，C1=C2。同理可证LCM（x，LCM（y，z））=LCM（x，y，z）。
b) *运算满足交换律
因为 对于任何x，y∈N，
x * y=LCM（x，y）
= LCM（y，x）
=y * x
（c）*运算有幺元1∈N。
因为，对于任何x∈N，
x * 1=LCM（x，1）
=x
=LCM（1，x）
=1 * x
（d）*运算没有零元。因为0Ï N。
（e）对于每个元素x∈X，若x≠1，则对每个元素y∈N，都有x*y=y*x=LCM（x，y）≥x≠1，故此没有逆元素。
9．设<X，*>是代数系统，*是X上的二元运算。X是X中的任一元素，若有x*x=x，则称x是幂等元。
若*是可结合的，且"x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。
证明：X中每个元素都是幂等元。
[证] 对于任何x∈X，令xi=x*x，xj=x，于是
xi*xj=（x*x）*x
=x*（x*x）（结合律）
=xj*xi
从而由怕给性质，有xi=xj，即x*x=x。
因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。
10．设<X，，>是代素系统，和分别是X上的两上二元运算。若"x∈X，有xy=x。证明关于是可分配的。
[证] 对于任何x，y，z∈X
xÄ（yÅz）=xÄy
=（xÄy）Å
=（yÅz）Äx=yÄx=（yÄx）（zÄx）
因此代数系统<X，Å，Ä>中Ä关于Å是可分配的。
11．设<X，Å，Ä>是代数系统，Å和Ä分别是X上的两上二元运算。e1和e2分别是关于Ä和Å的幺元，且Å对于满足分配律，Ä对于Å满足分配律。证明："x∈X，有xÄx=x，xÄx=x
[证] （a）先证 e1Äe1=e1
e1Äe1=e1Å（e1Äe1） （e1是Ä幺元）
=（e2Äe1）（e1Äe1） （e2是Ä幺元）
=（e2Åe1）Äe1 （Ä对Å的分配）
=（e2Äe1） （e1是Å幺元）
= e1 （e2是Ä幺元）
（b）次证 e2Åe2 = e2
e2Åe2 =e2Ä（e2Åe2） （e2是Ä幺元）
=（e1Åe2）Ä (e2Åe2) （e1是Å幺元）
=（e1Äe2）Åe2 （对Ä的分配）
= e1Åe2 （e2是Ä幺元）
=e2 （e1是Å幺元）
（c）最后，我们来证xÅx=x，xÄx=x
xÅx=（xÄe2）Å（xÄe2） （e2是Ä幺元）
=x Ä（e2Åe2） （Ä对Å的分配）
=xÄe2 （利用（b））
=x （e2是Ä幺元）
xÄx=（xÅe1）Ä（xÅe1） （e1是Å幺元）
=xÅ（e1Äe1） （Å对Ä的分配）
=xÅe1 （利用（a））
=x （e1是Å幺元）
证法二：
x=xÅe2 （e2为Ä的幺元）
=xÄ（e2Åe1） （e1为幺Ä元）
=xÄ [e2Å（e1e2）] （e2为Ä幺元）
=xÄ [（e2Åe1）Ä（e2Åe2）] （Å对Ä的分配律）
= xÄ [（e2Ä（e2Åe2）） （e1为Å幺元）
= xÄ（e2Åe2） （e2为Ä幺元）
=（xÄe2）Å（xÄe2） （Ä对Å分配律）
=xÅx （e2为Ä幺元）

x=xÅe1（e1为Ä的幺元）
=xÅ（e1Äe2） （e2为Ä幺元）
=xÅ [e1Ä（e1Åe2）] （e2为Å幺元）
=xÅ [（e1Äe1）Å（e1Äe2）] （Ä对Å的分配律）
= xÅ [（e1Äe1）Åe1] （e2为Ä幺元）
= xÅ（e1Äe1） （e1为Ä幺元）
=（xÅe1）Å（xÅe1） （Å对Ä分配律）
=xÄx （e1为Å幺元）
12．设X={a，b，c，d}，Å和Ä分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：
算表如下：

49

a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b
c
a
a
c
c
d
a
b
c
d
Ä
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
d
d
c
c
d
c
d
d
d
d
d
d

取S1={b，d}，S2{a，d}，S3={b，c}，问<S1，Å，Ä>，<S2，Å，Ä>，<S3，Å， Ä>，分别是<X，Å，Ä>的子代数系统吗？为什么？
因此< S2，Å，Ä>是<X，Å，Ä>的子代数。因Å，Ä在S2={b，d}内封闭。

Ä
b
d
b
b
d
d
d
d

Å
b
d
b
b
b
d
b
d

[解]

Ä
a
b
a
a
a
b
a
b
c
a
a
d
a
b

因此< S3，Å，Ä>是<X，Å，Ä>的子代数。因Å，Ä在S3={b，d}内封闭。

Å
b
d
b
b
d
d
d
d

Å
b
c
b
b
a
c
a
c
c
a
a
d
a
b

Ä
b
c
b
b
d
c
d
c
c
a
a
d
a
b

13．设< X，*>*是X上的二元运算。若"a，b，c∈X，有a*a = a且（a*b）*（c*d）=（a*c，b*d）证明：
a*（b*c）=（a*b）*（a*c）
[证] 对任何a，b，c∈X，
a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（幂等性a*a=a）
=(（a*b）*（a*c）=（（a*b）*（c*d））=（a*c）*（b*d）利用)
14．设<X，*>是代数系统，*是X上的二元运算，R是X上的等价关系。若"a，b，c，d∈X当（a，b）∈R且（c，d）∈R时，有（a*c，b*d）∈R，则称R是X上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。
考察代数系统<I，+>，I是整数集合，十是整数加法。问以下的元关系是I上的关于十的同余关系吗？
a) R={（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且y＜0)或（x≥0且y≥0））}
b) {（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且|x—y|＜10
c) {（x，y）|x，y∈I且（（x=0且y=0）或（x≠0且y≠0））}
d) {（x，y）|x，y∈I且x≥y}
[解] a) 这不是一个同余关系，因为
（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）ÏR。
b) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =9＜0，| 1-8 | = 7＜10，故有（-8，1）∈R且（1，8）∈R。但| -8-8 | =6＞10，所以[-8，8]ÏR
c) 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）ÏR
d) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有8≥7，从而（8，7）∈R，但7≠8，故（7，8）ÏR。
15．设S={a，b}，X=＜25，∩，∪，＞，Y=〈{0，1}，∧，∨，－〉。
证明：Y是X的同态象。
[证] 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：
h：2S→{0，1}
h（Ø）=0
h（{a}）=0，h（{b}）=1，h（S）=1
容易验证：h（A∩B）=h（A）∧h（B）
h（A∪B）= h（A）∨h（B）（A，B⊆S）
h（A′）=
并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。
16．设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。X=〈R，+〉，Y=〈R，x〉，问Y是否是X的同态象。
[答] Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0∈R，由h是满射的，可知存在着r0∈R，使h（r0）=0，于是对任何r∈R，由于r-r0=r+（-r0）∈R，所以h（r）=h（r0+（r-r0））={r′| r′∈R∧（Er∈R）（h(r)= r′）}
={0}≠R
17．设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=〈N，x〉，Y=〈{0，1}，x〉，证明：Y是X的同态象。
[证] 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态
h：N→{0，1}

于是 h（2m×2n）=h（2·2mn）=0=0×0=h（2m）×h（2n）
h（2m×（2n-1））=h（2·m（2n-1））=0=0×1=h（2m）×h（2n-1）
h（（2m-1）×（2n-1））=h（2（mn-m-n+1）-1）
=1=1×1=h（2m-1）×h（2n-1）
所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。
18．设S={a，b，c}，X=〈{ Ø，S}，∩，∪，′〉，Y=〈{a，b}，S，∩，∪，′〉。问X和Y是否同构，为么？
[答] X和Y不同构。因为Y=〈{{a，b}，S}，∩，∪，′〉不是代数系统，补运算 ′关于{{a，b}，S}不封闭，这可见下表：
′

{a,b}
{c}
S
Ø
而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统，矛盾。
19．设〈X，*〉和〈Y，Å〉是两个代数系统，*和Å分别是X和Y上的二元运算，且满足交换律，结合律。f1和f2都是从〈X，*〉到〈Y，Å〉的同态函数。
令h：X→Y
h（x）=f1（x）Åf2（x）
证明：h是从〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数。
[证] 对于任何a，b∈X，h（a*b）=f1（a*b）Åf2（a*b）（h的定义）
=（f1（a）Åf1（b））Å（f2（a）Åf2（b））（f1和f2是同态函数）
=（f1（a）Åf1（b））Å（f2（a）Åf2（b））（Å的结合律）
=（f1（a）Åf2（a））Å（f1（b）Åf2（b））（Å的结合律）
=（f1（a）Åf2（a））Å（f1（b）Åf2（b））（Å的结合律）
=h（a）Åh（b） （h的定义）
20．设〈X，f1〉，〈Y，f2〉，〈Z，f3〉是三个代数系统。f1，f2，f3分别是X，Y，Z上的二元运算。证明：若h1是从〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态函数，h2是从〈Y，f2〉到〈Z，f3〉的同态函数，则h2oh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。
[证] 对于任何x，y∈X，
（h2οh1）（xf1y）= h2（h1（xf1y））
= h2（h1（x）f2h1（y））（h1是〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态）
= h2（h1（x）f3h2（h1（y））（h2是〈X，f2〉到〈Y，f3〉的同态）
=（h2οh1）（x）f3（h2 h1）（y）
所以h2οh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。
21．设〈S，*〉是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。
[证] 因为〈S，*〉是有限含幺半群，故可设
s={s0=e，s1，…，sn-1}
则在*的运算表中，对庆于任何si，sj∈s（si≠sj，0≤i，j≤n-1）的两行为：
si*s0，si*s1，…，si*sn-1；
sj*s0，sj*s1，…，sj*sn-1
为证此两行互不相同，只需证明（∃k）（0≤k≤n-1∧si * sk≠sj * sk）即可。而这样的k是存在的，只需取k=0即得：
si*s0=si*e=si≠sj=sj*e=sj*s0
从而，由si，sj∈s的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。
关于列的结论，同理可证。
22．设k是一正数，Nk={0，1，2，…，k-1}，*k是Nk上的一个二元运算。"a，b∈Nk，a*kb=（a×b）modk。
a) 当k=6时，写出*6的运算表；
b) 证明：对任意的正整数k，〈Nk，*k〉是半群。
a) [解]
*6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1

b) [证] 1）*k是Nk上的二元运算
由于0≤（a×b）modk＜k，故a*kbNk，即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一（因为若有i=（a×b）modk，j=（a×b）modk，则0≤k＜k，0≤j＜k，a×b=kr1+i，a×b=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-i，故此k|j-i，但是0≤j-i＜k（因为j≥i）故只能j-i=0，因此j=i＝。
2）*k满足结合律
因为对于任何a，b，c∈Nk
（a *k b）*k c=[（a×b）modk] *k c
={[（a×b）modk] ×c}modk
=（（a×b×c））modk
={a×[（b×c）modk]} modk
=a*k [（b×c）modk]
==a*k（b*k c）
综合1），2）可得〈Nk，*k〉是半群
23．设〈S，*〉是半群，a∈s。在s上定义二元运算Å如下
"x，y∈s，xÅy=x * a * y
证明：〈S，Å〉是半群。
[证] （a）Å是s 上的二元运算
由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由Å的定义可知Å具有封闭性和运算结果唯一性。
（b）Å满足结合律
对于任何x，y，z∈s
（xÅy）Åz =（x * a * y）Åz
=（y）* a* z
= x * a *（y * a * z）（*运算的结合律）
= x * a *（y Å z）
=xÅ（y Å z）
综合（a），（b）可知〈S，Å〉是半群。
24．设〈S，*〉是半群。证明：s中至少有一个幂等元。
[证] 因为〈S，*〉是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素y∈s，都有y2=y*y∈s，y3=y2*y∈s,…。又由〈S，*〉是有限的，可知s是有限集，所以存在着j＞i，使得yj=yi，从而令P=j-i，那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，…，也就是对任何g≥i，都有yg=yp*yg。所以，从p1总可找到k≥1，使kp≥i。故此，令x=ykp∈s，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：
x * x=ykp * ykp
=（yP+ * y(k-1) p）*ykp（利用上述性质）
=y(k-1) p * ykp
=……
=yp * ykp
=ykp
=x
25．设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下
"x，y∈R，x*y=x+y+xy
证明：〈R，*〉是含幺半群。
[证] （1）*运算是实数集R上的二元运算。
因为普通实数加法+和乘法×都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。
（2）*运算满足结合律。
对于任何x，y，z∈R，因为
（x*y）*z=(x*y)+z+(x*y)z=（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
(x*y) *z=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
所以 （x*y）*z=x（y*z）
（3）o∈R为幺元
对于任何x∈R 因为
o*x=o+x+o·x=x
x*o=x+o+x·o=x
故此 o*x=x*o=x
综合（1）（2）（3）证得〈R，*〉是含幺半群。
26．设〈S，*〉是可交换半群。证明："x，y∈S，若x，y是幂等元，则有（x*y）*（x*y）=x*y。
[证] （x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可结合）
=x*（x*y）*y （*可交换）
=（x*x）*（y*y） （*可结合）
=x*y （x，y为幂等元）
27．设〈S，*〉是半群。，y∈s，若x≠y，则x*y≠y*x。证明：
a) "x∈s，有x*x=x
b) "x，y∈s，有x*y*x=x；
c) "x，z∈s，有x*y*z=x*z；
[证] 对任何x，y∈s若x*y=y*x，则x=y（否则x≠y，于是x*y≠y*x，矛盾）。
a) 对任何x∈s，因为（x*x）*x=x*（x*x） （*可结合）
所以 x*x=x
b) 对任何x，y∈s，（x*y*x）*x
=x*y*（x*x） （*可结合）
=x*y*x （由a））
=（x*x）*y*x （由a））
=x*（x*y*x） （*可结合）
所以 x*y*x=x
c) 对任何x，y，z∈s，有（x*y*z）*（x*z）
=x*y*（z*x*z）（*可结合）
=x*y*z （由b））
=（x*z*x）*y*z（由b））
=（x*z）*（x*y*z）（*可结合）
所以 x*y*z=x*z
28．设〈S，*〉是半群。证明："x，y，z∈s，若x*z=z*x且
y*z=z*y，则（x*y）*z=z*（x*y）。
[证] 对任何x，y，x∈s （x*y）*z
=x*（y*z） （*可结合）
=x*（z*y） （y与z可交换）
=（x*z）*y （*可结合）
=（z*x）*y （x与z可交换）
=z*（x*y） （*可结合）
29．设〈{x，y}，*〉是半群，x*x=y。证明：
a) x*y=y*x；
b) y*y=y。
[证] a) x*y = x*（x*x） （因x*x=y）
=（x*x）*x （*可结合）
=y*x （因x*x=y）
b) y*y=（x*x）*y （因x*x=y）
=x*（x*y） （*可结合）
根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y
若 x*y=x，则y*y=x* （x*y）
=x*x （由x*y=x）
=y （由x*x=y）
若 x*y=y，则y*y=x*（x*y）
=x*y（由x*y=y）
=y（由x*y=y）
因此 无论如何，y*y=y 。
30．〈S，*〉是半群。若有a∈s，"x∈s，∃u，Q∈S，使得
a*u=v*a=x
证明：〈S，*〉是含幺半群。
[证] 只需证明半群〈S，*〉中含有幺元即可。
取x= a，那么，存在ua，va∈s，使a*ua=va*a=a
对于s中任一元素b，那么存在u b，vb∈s，使得
a*ub=vb*a=b
于是 bua=（vb*a）*ua （因vb*a=b）
=vb（a*ua） （*可结合）
=vb*a （因aua=a）
=b （因ub*a=b）
所以ua是右幺元。
并且 vab=va*（a*ub）（因a*ub=b）
=（va*a）*ub（*可结合）
=a*ub （因ua*a=a）
=b （因a*ub=b）
所以va是左幺元。但是
将b*ua=b中的b取为ua，则有va* ua =va；
将ua*b=b中的b取为ua，则有va*ua=ua；
故此，可得 ua=va。所ua（=va）是〈S，*〉的幺元。
从而，〈S，*〉是含幺半群。
31．设〈S，*〉是含幺半群。Zs，z是关于*的左零元。证明："x∈s，x*z也是关于*的左零元。
[证] 由于z是关于*的左零元，所以对于任意a∈s，都有
z * a=z
因而 对任何x∈s，对任何a∈s，都有
（x*z）*a=x*（z*a）（*可结合）
=x*z（z为左零元，z*a=z）
这说明x*z也为左零元。
32．设〈S，*〉是含幺半群。Ss={f | f :s→s}，）ο是函数的合成运算。
a) 证明：〈S s，*〉是半群；
b) 证明：存在从〈S，*〉到〈Ss，ο〉的同态函数。
[证] a) 由于ο是函数的合成运算，而Ss={f | f:s→s}是所有从s到s的函数的集合，因此ο运算封闭且运算结果唯一；并且ο运算当然具有结合律，故此〈S s，ο〉是一半群。
b) 令h : s→ss，对于所有的a∈s
h（a）=fa；这时fa : s→s，对于任何x∈s
有fa（a）=a*x
由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的fa后者唯一，是从s到s的函数，即fass。因此h的定义是良定义的。
对于任何a，b∈s h（a*b）=fa*b
而对于任何x∈s，（x）fa*b（x）
=（a*b）*x
=a*（b*x） （*的结合律）
= a*（fb（x））
= fa（fb（x））
=（faοfb）（x）
所以，有 fa*b= faοfb，因此，h（a*b）=faοfb=h（a）οh（b）。故此h满足同态公式。
因而存在从到〈Ss，ο〉的同态函数。
33．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数，证明：若x是X中的幂等元，则Y中也存在幂等元。
[证] 由于f（x）f（x）=f（x*x） （f是同态函数，满足同态公式）
=f（x）（因x是幂等元，故x*x=x）
且f（x）∈Y，故此f（x）是Y中的幂等元。即Y中也存在幂等元。
34．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数，问下列结论是否为真。
a) 〈X，*〉在f下的同态象是〈Y，〉的子代数系统；
b) 〈X，*〉在f下的同态象是半群；
c) 若〈X，*〉是含幺交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象也是含幺可交换半群。
[解] a) 真。因为1）f（X）⊆Y。这点是根据事实f : X→Y得出的。2）集合f（X）在运算Å下是封闭的，即，如果a，b∈f（X），那么aÅb∈f（X）。因为若a，b∈f f（X），那么存在着x，y∈X，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X在*运算下封闭（因〈X，*〉为半群）可知存在着某一z∈X，使z=x*y因此
aÅb=f（x）Åf（y）
=f（x*y）（f