角动量算符的本征值方程.doc

角动量算符的本征值方程
在量子力学中，我们知道，角动量算符，，满足本征值方程:
， (1)
, (2)
. （3）
或取,则
, （4）
而

这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系.
由§5.3节(7)式知
, (5)
其中取形式

其性质与球谐函数相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：
(6)
首先考虑绕x轴转角为的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符
（7）
由于绕x轴转动角，可视为欧勒角为，，的转动，这样由§5.4节(2)式知：

亦即
(8)
在时，展开式只保留的零级与一级项， 则有：
或 . (9)
(1) 当，亦即时，由于 （阶乘要求），故或, 而
(10)
(2)当, 或时，由于（阶乘要求），且，故.
当时， ，或，则由(8)式知：
(11)
当时，，即，则由（8）式得
(12)
将（7）、（10）、（11）及（12）式代入（6）式得

由此得
（13）
与(1)式完全一致.
再考虑饶y轴转角为的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：
（14）
该转动的三个欧勒角分别为，，，将其代入§5.4节（2）式得

在时，
（15）
在展开式中，只保留的零级与一级项，则有
或 .
(1) 当，亦即时，由于（阶乘要求），且，故或，则
（16）
（2）当，或时，由于（阶乘要求），且，故.
当时， ，与上面同样的讨论知
（17）
当时，. 与上面同样的讨论知
（18）
将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6）式得
（19）
与(2)式一致.
最后考虑饶z轴转角为的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：
. （20）
该转动的三个欧勒角分别为，，. 将其代入§5.4节（2）式得

要使上式不等于零，，亦即. 另外, （阶乘要求），且，故或. 又时，，因此
. （21）
将（20）与（21）式代入（6）式得
（22）
与（3）式一致.
这样，由SO（3）群的不可约表示，的本征值方程很自然地得到.
由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量、转角为的无穷小转动算符为：
（23）
令，其中为一无限大的整数，为一有限量，则

对于有限转角为的转动，可以看成是转角为的次连续转动而成，所以
. (24)
这就是沿任意方向转角为的转动算符，若假设的角坐标为，则

其中
，，. （25）
这样
（26）
由此可见，（25）式定义的为正则参数，这一点与三个欧拉角是不同的，我们知道不是正则参数.

§5.7 SO(3)群表示直积的分解
SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即
（1）
其中为不可约表示出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.
1. SO(3)群表示的特征标
在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：
绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类.
证：设代表绕过点的轴、转角为的转动，如图1示.

图1
为简单起见，设轴在平面上，上述转动可通过下述步骤进行：
（1） 绕轴转角，故与轴重合，记该转动为.
（2） 绕轴转角，记该转动为.
（3） 再将绕轴转角回到原处，该转动为.
这样
（2）
根据类的定义，上式中与属同一类，由于这里轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.
由§5.3节(10)式我们知道，绕轴转动角的不可约表示为：
（3）
这样由上面的讨论知，SU（2）群的绕通过原点任意轴转过角的不可约表示的特征标为：

2. SO(3)群表示的直积的分解
为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积的特征标.

其中
，而
故

而由（1）式知：

比较以上两式知，
, 当 ,
, 其它情况.
这个结果表明，在表示的直积中，不可约表示（）仅出现一次，即表示的直积有如下分解

亦即

如
.
.

§5.8 角动量的耦合与C-G函数
角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合, 求得耦合系数，即C-G系数.
由前面的讨论我们可以看出，球谐函数按SO(3)群的不可约表示变换，在一般情况下，考虑到变量，函数也应按SO(3)群的不可约表示变换，亦即
(1)
其中 共个取值. 这里按习惯将角动量量子数用符号表示，这里的是与的本征函数，即
（2）
考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为与，它们分别按SO(3)群的不可约表示变换，即
（3）
其中 .
（4）
其中.
而
,
.
两个电子组成的耦合系统的波函数为：
（5）
在的转动变换下，有

（6）
因此，耦合系统的波函数按SO(3)群表示的直积变换，而由§5.7节的讨论知，直积是可约的，因此不是按SO(3)群的不可约表示变换，因此不是总角动量与的本征函数.
下面我们来讨论一下，如何由与来构成总角动量与的本征函数.
由§5.7节(4)式知，表示的直积可约化成准对角矩阵，

其中与代表零矩阵元. 这样
（8）
这表明存在矩阵C，使得
（9）
因为与都是幺正的，所以C应为幺正矩阵，即. 而(9)式的矩阵元可以写成：

（10）
这里的是行，列矩阵，其中
，
，
.
利用变换矩阵可将个线性无关的波函数线性组合成另一组个线性无关的函数：
（11）
利用变换矩阵的幺正性，即

可得(11)式的逆变换为：
（12）
不难证明由(11)式表示的函数按SO(3)群的不可约表示变换，因为

可见按不可约表示变换，因此按（11）式组合得到的是总角动量与的本征函数.
(11)式中由到的变换系数称为克莱布什-戈登(Clibushi-Gordan)系数或维格纳(Wigner)系数或矢量耦合系数，简称为C-G函数，通常取该系数为实数，所以
（13）
下面我们来求C-G系数的具体形式.
设为绕轴转角为的旋转，由§5.3节(10)式知
（14）
用作用于(11)两端，得
（15）
由于

又由(6)式知：

而

这样

故(15)式变为
（16）
再利用（11）式得

由于线性无关，所以
. （17）
这样
（18）
将其代人(10)式，得
（19）
由§4.4节(10)式知：两不可约表示的矩阵元满足正交性

（20）
三个欧勒角的变化范围分别为：

权重因子，所以
（21）
为表示的维数，对于表示，.
用乘（19）式两边并对欧勒角加权积分，利用正交关系(20)得

（22）
为了确定，在上式中令，，并由§5.4节（2）（3）与（4）式知：

（24）
（25）将（23）（24）（25）三式代人（22）式并注意, 得:

（26）
利用积分

则

代入（26）式得:

(27)
在上式中再令，，得:

再利用恒等式

这样
(28)
代入(27) 式得

将其代入(18)式, 最后得C-G系数为:

. (29)
表1与表2分别给出了与的C-G系数.
表1 系数

表2 系数

例如, , .

再例如 , , .

C-G系数有下列性质

（30）
例如：
(31)
其中：

与求和无关，且在变号情况下，其值不变.
令，则, (31)式求和项变为：

而

这样

.
其它性质亦可用同样方法予以证明.
例1：现在我们利用两波函数的耦合公式
（32）
及表1所给的C-G函数来讨论两电子的合成自旋波函数，为此采用惯用的符号
, (33)
分别代表自旋向上与自旋向下的自旋波函数，用代表合成的自旋波函数.
由于电子的自旋为，则合成的总自旋为. 当时，. 当时，. 考虑到，则由表1可得
系数，如表3示.

表3 函数
j

1

0

这样由（32）、（33）两式及上表可得：

以上合成波函数在量子力学中我们早就熟悉.

§ 5.9 张量算符
1.算符的变换
我们先看一下坐标转动时，算符的变换规则.
设有算符，作用在波函数后可得到另一波函数，即
（1）
设在坐标转动下的算符为，用作用在上式两边得：

求：

令
（2）
且注意到：

则上式变为：
(3)
又由（1）式知：
(4)
因此：
(5)
2. 矢量算符
如果算符有三个分量，在坐标转动变换下，它按如下规则变换
(6)
或
(7)
则该为矢量算符.
例1.算符是矢量算符（）分别对应于，，）是矢量算符.
因为此时，在坐标经变换后，
或 （8）
而
（9）
又由算符变换性质（5）知
（10）
（9）+（10）得

因此按矢量算符的定义（6）或（7）知，是矢量算符.
3.二阶张量算符
如果算符有9个分量，而且的变换性质为：
（11）
则称为二阶张量算符.
由于，所以是按直积变换的.
4. 高阶张量算符
如的变换性质为：
（12）
则称为阶张量算符，是下脚标的数目，显然矢量算符可以看成是一阶张量算符.
5.不可约张量算符
设有算符，共有个分量，它们在坐标转动下，按下式变换
（13）
也就是说，的个分量按SO（3）群的不可约表示变换，则称为阶不可约张量算符.
当时，即为零阶不可约张量算符，它只有一个分量，称为标量算符，其表示矩阵，即标量算符在坐标转动下不变.
当时，即为1阶不可约张量算符，它有三个分量，其变换关系为：
（14）
前面我们曾介绍过矢量算符满足变换关系
（15）
而由前面§5.4节的讨论知：与等阶，即
或 （16）
其中

（17）
将（16）代入（15）得：

上式两边同乘并对求和得：

利用矩阵的正交性，上式变为：

将上式与（14）式比较知：
（18）
亦即：
（19）
由此可见，任一矢量算符的分量可组合成一阶不可约张量算符.
在前面§5.6节中我们曾得绕任意方向绕角为的转动算符为

若取沿轴，转角，则
（20）
而此时
（21）
将（20）与（21）两式代入（13）式得：

亦即：

由此可得：
（22）
结合§5.6节的结果，同样的方法可以证明.
（23）
其中.
下面我们再讨论一下，不可约张量算符对按群不可约变换的函数作用.
设是按不可约表示变换的函数，不可约张量算符作用在上后，在转动变换下有：

（24）
由此可见，个函数按群的表示直积变换，则由前面§5.8节的讨论知，不是角动量与的本征函数，利用C-G函数，可将线形组合为：
（25）
其中 ，则将构成总角动量与的本征函数，其本征值方程为：

亦即 （26）
由（23）式，用同样的方法可以证明
（27）
6维格纳-艾卡特（Wigner-Echart）定理
现在我们来计算一下不可约张量算符在态和态之间的矩阵元，这里的与代表除或外的其它量子数，由于算符的正交性有：

（28）
又由前面§5.8节式知

（29）
将（29）代入（28）式得：

上式两边对欧勒角加权重积分，并利用不可约表示正交性得

(30)
由（30）式知，求和部分仅与，有关，而与无关，为简单起见，将求和部分记为：
称为不可约张量算符的约化矩阵，则（30）式可写成：
（31）
上式就是维格纳-艾卡特定理的数学形式，说明一个不可约张量算符在角动量本征态之间的矩阵元等于一个C-G函数与其约化矩阵的直积.
由该定理可以看出，不可约张量算符的矩阵元与其中出现的C-G函数有相同的选择定则，即只有当
， （32） 以及
（33）
时不可约张量算符的矩阵元才不为零.
例1. 角动量算符的矩阵元
前面在§5.6节中，我们曾经得到角动量算符的矩阵元为：

下面我们由不可约张量算符来导出这些矩阵元.
由本节（19）式知，可以组合成一阶不可约张量算符为：
（34）
前面得到的维格纳-艾卡特定理知：
（35）
为了确定约化矩阵元，在上式中取，则有：

故得：

而由前面§5.8节的讨论知：

故

代入（35）式得：
（36）
则

而

故

由于
，故

与式一致.
再由（35）式得：

而

故

由
故

与式一致.
例2. 跃迁中的选择定则
原子核是电 极与 极 射，在计算跃迁矩阵元时，我们通常要计算矩阵元.

其中球谐函数 （），共有个分量，可以证明是阶不可约张量，因此：

亦即：

因此是阶不可约张量，这样，矩阵元.

其中约化矩阵元，由于存在C-G函数所以量子数间满足三角形关系，
：

这就是量子力学中我们熟知的跃迁中的选择定则

36