方差与标准差.docx

20.2 数据的波动程度(2课时)

第1课时 方 差

教材分析

1.“数据的波动程度”是人教版《义务教育教科书·数学》八年级(下)第二十章第2节教学内容，本节内容为第1课时.
2.内容解析
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小.
基于以上分析，本节课的教学重点：
运用方差解决实际问题.
突破教学重点的方法：
针对本节课的特点，我采用了以小组为单位，去观察、分析、讨论、启发引导,示范引导相结合的教学方式展开教学.
目标和目标解析

1、目标
①、理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据的波动大小.
②、掌握方差的计算公式，并会初步运用方差解决实际问题.
2、目标解析
目标①是让学生能理解方差的意义.
教学问题诊断分析

由于生活经验的局限，同时受认知水平的影响，学生理解方差的概念时可能有困难，存在一些疑问.部分学生往往只会记住公式，而不会解释数据分析结果的实际意义或统计意义，把统计问题的学习仅仅停留在计算层面.
本节课的教学难点是：理解方差的定义，并会运用它们衡量数据的离散程度.
突破教学难点的方法：充分利用多媒体教学手段，通过画图、实践观察、计算、讨论等方式来突出主线，层层深入，逐一突破难点.
学情分析
①、学生已经学习了平均数，中位数，众数等知识，这些内容都是描述一组数据集中趋势的量，为我们学习研究数据的波动提供有利条件.
②、班级自主教育体系比较完善，小组建设成熟，学生整体素质较高，学生能有效实现课堂“自主，合作，探究”.
③、多谋体信息技术的使用也为突出教学重点，突破教学难点、启发学生思维、提升课堂效率提供了有力的支持.
教学过程设计

教 学 过 程
教学环节
师生活动
设计意图

第一环节
【创设情境，提出问题】：显示射击场面
问题1：现在要从我班甲，乙两名同学中挑选出一名参加“四川省协会杯射击比赛”，请你设计一种简单易行的选拔方案.

学生活动：
回答可分别计算甲，乙的射击平均成绩，谁的平均成绩高，就选择谁.

老师：
我们在前面的课程中，已经研究了描述一组数据的集中趋势的统计特征量，问：它们分别是什么？
（平均数，众数，中位数）

由“射击问题”引入：当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题？

问：同学们，相信大多数同学都看过射击比赛吧！接下来，要让同学们自己想办法，解决有关射击的问题.

设置情景问题,激发学生去解决实际问题的兴趣，既复习已有知识（平均数，众数，中位数），又为新课的导入做了铺垫.

教学环节
师生活动
设计意图
第二环节
【比较分析，形成概念】

教师：提供甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
6
8
8
8
10
乙命中环数
9
7
9
7
8

学生: ①分小组计算甲，乙的射击成绩；
②发现甲，乙二人平均成绩均为8；

教师：①、 问题2：平均数相等，射击水平就完全一样吗？
②、观察数据特点.
③、可以从数据的稳定性上考虑.
学生：①、小组讨论，得出甲，乙数据特点如下：
②、甲：波动幅度大；乙：波动浮动小.
③、不能判断哪组稳定性好.
教师：①、单看个别数据的波动幅度不能衡量一组数据的整体波动大小.
②、问题3：怎样才能衡量一组数据的波动大小呢？
③、提供一种方案，供学生参看：
将甲，乙两组数据以点的形式标注在平面直角坐标系里，然后用折线连接，
确定8为中心线，从而观察波动情况，能比较明显地看到有多少数据在振动；数据偏离中心线的幅度有多少.
环数
平均成绩
射击次序
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10

结论：必须确定波动标准（一般取数据的平均数）；每个数据对整个波动情况都起作用；这种绘制图像的方法仍然是定性的综合印象.

问题4：怎样定量地计算整个波动大小呢？
数据：
甲：6 8 8 8 10
乙：9 7 9 7 8
学生：计算每个数据与数据的平均数的差(偏差).
甲：-2 0 0 0 2
乙：1 -1 1 -1 0
教师：问题5：如何累计偏差？

学生：计算偏差的代数和，都为0(无法比较).

教师：问题6：原因？ 如何使正负偏差不相互抵消呢？

学生：讨论后得出两种方法：
①、给每个偏差加上绝对值后再相加.2+2=4, 1+1+1+1=4
②、给每个偏差平方后再相加.4+4=8 , 1+1+1+1=4
通过比较，发现只有方法②才能衡量出数据的波动情况.

教师：
①、取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况的统计量，但是在许多问题中含有绝对值的式子不便于计算，通常采用方法
②、平方具有“放大镜”的功能，运用更广泛，在衡量一组数据的波动大小的“功能”上更强些.
③、小结计算偏差平方和的步骤.

学生：①、讨论后得出步骤如下：
第一步：计算平均数.
第二步：计算偏差（每个数据与标准数据的差）.
第三步：计算偏差的平方和 .
②、分别计算下列两组数据的偏差的平方和.
甲：7 4 1
乙：6 3 6 2 5 2

教师：
①、第一组的结果为18；第二组的结果为18，从计算可得出两组数据一样稳定，但观察数据显然是第二组稳定.
②、 问题7：观察和计算为什么矛盾？

学生：经过讨论，得出原因：因为两组数据个数不一样.

教师：
问题8：在数据个数不一样的情况下，如何合理计算偏差？

学生：计算偏差平方的平均数.

教师：
请同学们分别计算上述两组数据偏差平方的平均数.

学生：第一组：6，第二组：3.

教师：现在观察和计算还矛盾吗？

学生：┅ ┅

方差公式：

教师：
我们把一组数据偏差平方的平均数叫做这组数据的“方差”，教师板书课题——方差.
①、n表示什么？ 表示什么？
②、从结构上进行分析，帮助学生理解“方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小”.
③、计算一组数据的方差一般步骤是什么？
学生：┅ ┅

1.通过设置甲，乙两组数据，让学生通过亲自动笔计算发现两组数据的平均值相同,使学生发现只知道一组数据的平均值是不够的.

2.让学生亲自动手画图,看图,得到答案,培养学生实际的动手能力和观察、分析、解决问题的能力.

1.通过设置个数不同的两组数据，计算偏差平方和与实际观察到的情况矛盾.为合理计算,从而引出偏差平方的平均数,也就顺利推导出“方差”公式.

2.通过师生互动活动环节，从结构分析“方差”公式，是对前面所有环节的一次大总结，同时加深了对方差概念的理解，也强化对“方差”公式的记忆，再次回顾了计算数据的方差的一般步骤.

第三环节
【课堂检测，
灵活运用】

1、 数据方差的实际意义是（ ）
A．用来比较数据的数值大小
B．用来比较数据的数值多少
C．用来比较数据的范围和跨度
D．用来衡量数据的波动大小

2、在计算方差公式中：
数字n表示：________________，n=___________ , 数字8表示：___________________.

3、对甲、乙两个小麦品种的各100株小麦的株高进行了测量，结果算得,,,由此可估计株高较整齐的小麦是____.

4、甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
6
8
8
8
10
乙命中环数
9
7
9
7
8

分别求出每组数据的方差，并确定出成绩稳定的选手参赛.
解：略
教师：展示过程，强调格式.

【能力检测,巩固提升】
5 、阅读材料,（材料为本班级学生身高）从材料中找到本小组成员身高,并用本节相关知识分析哪组身高更为整齐?具体要求每两组做对比,展示成果并解说.其余组进行点评.

1.通过习题形式,考察学生对方差定义的进一步理解,计算公式结构的分析,帮助学生理解记忆方差的公式,题目三是对方差的一个简单实际应用.

2.规范解答,实际应用.

3.前四道题巩固学生对方差概念的理解和初步运用,
题目5，学生阅读材料，实现数据从收集，整理再到统计分析，让学生完整体验统计意义,充分感知到统计源于生活,而又服务于生活.在生活中要树立统计思想意识.
教学环节
师生活动
设计意图
第四环节：
课堂总结
同学们，通过本节课的学习你有哪些收获啊？
①方差的定义
②方差的计算过程
③计算方差的公式
④方差是如何衡量一组数据的波动大小的
⑤利用方差可以解决那些实际问题……
教师关注：①、学生能否表示方差的意义；
②、是否知道方差是衡量一组数据什么情况的一个量；
③、用方差衡量一组数据波动大小的计算方法和规律.
通过回顾与思考巩固本节课所学知识,让学生体会进步与成功的喜悦,有信心更好地学下去.
第五环节：
课后作业

题目：甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）两组数据的样本容量分别是多少?
（2）他们的平均成绩分别是多少？
（3）甲、乙的单元测验成绩的方差分别是多少？
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？

课后作业不宜多，而在精，通过课后作业及时了解学生对知识的掌握情况，同时给学生留下新的问题，为下节课作好铺垫.
板书设计

第1课时 方差

投影显示区

学生练习1 学生练习2 学生练习3

一、方差概念及公式
注：①… …
②… …
③… …

教学反思

所谓数学生活情境教学法就是教师以教材及生活中的数学素材为基本内容，通过计算机的辅助作用,为学生创建或模拟一个探索数学知识的“情境”，使学生的学习过程成为“数学从已知到未知的探索过程”.让学生主动地去探索数学知识，从而激发学生探索数学奥秘的情趣，培养探索能力和探索方法，主动、全面地获得数学知识的方法.要求学习内容生活化，教学过程情境化.
针对本节课的特点，我采用了“发现问题——解决问题——再发现问题——再解决问题”为主线的教学模式，以小组为单位，去观察、分析、讨论、启发引导相结合的教学方式展开教学.
充分阅读教材，实现教材的二度创作，教学选取大背景，小数据，降低计算难度，充分调动学生的积极性，组织引导学生通过观察、分析、讨论、交流获得知识信息,在反馈与交流中感受到知识的不够用，从而使学生的思维始终处于积极的、主动探究的状态，这样即达到了教学目标，又能在这一过程中学习科学研究方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维.

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