2015届天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)文科数学试题及答案.doc

2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）
数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：
锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的）
1．是虚数单位，复数（ ）
A. B. C. D.
2．设变量满足约束条件,则目标函数的最小值是( )
A. B. C. D.
3．已知命题，总有，则为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，，，则（ ）
A.　　 　 B. C.　 D.
5．将的图像上所有点向左平移后得到的图像，则在[，0]上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），且点到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D.
7．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若均为不等于的正实数，则是成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知在直角梯形中，，，，，为线段 上一个动点，设，则当取得最小值时的值是（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9. 设集合，，则集合中元素个数为________.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．

11题图
10题图
开始

结束
输出
是
否

13题图
2
1
1
正视图
俯视图
侧视图
2
2

11. 执行如图所示的程序框图,则输出的的值是________.
12. 已知均为正实数，圆与圆外切，则的最小值为________.
13. 如图是圆的直径，过作圆的切线交弦的延长线于点，为上一点，且，，连接并延长交圆于点，连接交于点，则=________.
14. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为________.
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：
年龄（岁）

人数

赞成人数

（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为，则的值为；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在，两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自年龄段为事件，求事件的概率.

16．（本小题满分13分）
在中，内角所对边分别为,已知,,.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求.

17.(本小题满分13分）
如图四边形是正方形，四边形为直角梯形，，，且平面平面.
（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：直线平面；
（Ⅲ）若正方形边长为，，求直线与平面所成角的余弦.

18.（本小题满分13分）
己知数列前项的和为，且满足.
（Ⅰ）证明数列为等比数列.
（Ⅱ）若 ,求数列的前项和.

19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线是过椭圆右焦点且斜率为的直线，已知直线交椭圆于两点，若椭圆上存在一点,满足,求当时,的值.

20．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知是的导函数，若，使得，求实数的取值范围.

2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）
数学试卷（文科） 评分标准

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
A
D
C
B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．2； 10．； 11． ； 12． ； 13．； 14．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15. 某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员随机抽查了人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：
年龄（岁）

频数

赞成人数

（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为，则的值为；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在，两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自年龄段为事件，求事件的概率.
解答：（1）经过该路段人员中赞成的人数为 ----------------2分
因此，样本中的赞成率为 -----------------3分
解得 -----------------4分
（2） 设年龄在的3位被调查者为,年龄在的3位被调查， ---------------5分
则从6位调查者中抽出2人包括：，，，共15个基本事件，且每个基本事件等可能。 -----------------8分
其中事件包括,，,共12个基本事件， -------11分
根据古典概率模型公式得 -----------------13分

16．在中，内角所对边分别为,已知,
,.
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求
解（Ⅰ）在中,由
得,, ----------------------------2分
又, ---------------------------3分

由得 ---------------------------4分
,又 ---------------------------5分
（Ⅱ）在中，由得 -------------7分
---------------------------9分
---------------------------11分
---------------------------12分
---------------------------13分
17、如图，四边形是正方形，四边形为直角梯形，，，且平面平面.
（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证直线平面．
（III）若正方形边长为，，求直线与平面所成角的余弦；

证明：（Ⅰ）连接，连接，因为四边形是正方形，所以是的中点，为中点，则， -------------------------1分
又平面， ----------------------------2分
平面， ----------------------------3分
所以∥平面。 ----------------------------4分
（2）平面平面，平面平面=.

所以 ----------------------------5分
所以平面 ----------------------------6分
又平面，所以 ----------------------------7分
又正方形中 ---------------------------8分

所以直线平面 ----------------------------9分
（3）取的中点，连接，则
则平面 ----------------------------10分
连接，则是在平面内的射影，
所以是直线与平面所成角 ----------------------------11分
中
中
所以中 ----------------------------12分
直线与平面所成角的余弦 ----------------------------13分
18：己知数列前项的和为，且满足,
(Ⅰ)证明数列为等比数列.
(II)若 ,数列的前项和为 ,求
解(Ⅰ)
时, ----------------------------1分
两式相减得

----------------------------3分
又由得 ----------------------------4分
所以是以2为首项,2为公比的等比数列. ----------------------------5分
(II)由(Ⅰ) ,, ----------------------------6分
又 ----------------------------7分
+ ----------------------------8分
设
则两式相减得
=
， ---------------------------11分
又 ---------------------------12分
---------------------------13分
19、已知椭圆的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线是过椭圆右焦点且斜率为的直线，已知直线交椭圆于两点，若椭圆上存在一点,满足,求当时,的值.
解（Ⅰ）依题意 ----------------------------2分
解得 ----------------------------3分
所以椭圆方程为 ----------------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以直线的方程为
----------------------------5分
设,由-------7分

, --------8分

所以=
----------------------------9分
由点P在椭圆上得 ........(1)
----------------------------10分
由得 ........(2)
----------------------------11分
由(1) (2)得 ,
----------------------------13分
, ----------------------------14分

20．已知函数
（1） 求函数的单调区间和极值；
（2） 已知是的导函数，，使得，求实数的取值范围
解答(1)由已知，有． -------------1分
令，解得或. -------------2分
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0

f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单增
0
单减

单增
所以，f(x)的单调递增区间是，；单调递减区间是. -------------4分
当x＝0时，f(x)有极大值，且极大值f(0)＝0； -------------5分
当x＝时，f(x)有极小值，且极小值. -------------6分
(2)法1：，使得，等价于在上最小值与在上最大值满足。----------7分
由函数的变化情况及在上单减，在上单增；
（a）当时，
在上为减函数，在上为增函数，，
由于当时，在上为增函数，，
由得，
即，因为（或）
所以对任意的成立。 ---------------------------9分
（也可以对求导，判定在上恒成立）
（b）当时， 在上为减函数在上先减后增，
，或者，
由得，只需满足或者，
所以 ---------------------------11分
(c)当时，，
均在上均为减函数，，
由得，即 舍 ---------------------------13分
由(a),(b),(c)得，- --------------------------14分
方法二：
，使得，等价于在上最小值与在上最大值满足。----------7分
由函数的变化情况及在上单减，在上单增；
（a）当时，
在上为减函数，在上为增函数，，
由于当时，在上为增函数，，
由得，
即，因为（或）
所以对任意的成立。 ---------------------------9分
（也可对求导，判定在上恒成立）
（b）当时， 在上为减函数，，---------------------------10分
因为是开口向上的二次函数且对称轴 ---------------------------11分
所以或者， ---------------------------12分
由得，只需满足或者，
所以 ---------------------------13分
由(a),(b)得， ---------------------------14分