中考专题—二次函数综合.doc

1.（2011嘉兴）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？

（第24题图2）
（第24题图1）

2.(2013四川成都，28，12分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．
(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；
(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
ii)取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
x
x
O
A
B
N
C
第28题图
x
x
O
A
B
N
C
备用图

1.（2010•威海）（1）探究新知：
①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②地图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图3 ，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2.（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，△ABN的面积为，且，求点P的坐标.
y
x
O
C
A
B

24．（15分）（湖北随州）如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线y＝ x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
（1）求b的值．
（2）求x1•x2的值
（3）分别过M、N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4） 对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
 第24题图

28．（13分）（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；
（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．

39．（2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时 的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

18. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）

11. (2011 浙江湖州，24，14)如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
(1) 求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
(2) 当△APD是等腰三角形时，求m的值；
(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

26．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

29. （2011湖北武汉市，25，12分）（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8. （2013山东潍坊，24，13分）
如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象，点O是坐标原点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
(3)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.