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专题六 滑杆滑轨线框问题
【专题分析】
电磁感应问题历来是高考重点考查的内容之一，这部分内容可以与电路、牛顿定律、动量能量等许多章节综合在一起，题目的可造性非常强，所以被非常多的出题者青睐。
这部分内容在题目中经常以金属杆切割磁感线的形式出现，具体物理情景包括单杆切割、双杆切割和线框切割。题目的设问多落于电量的大小、做功情况、能量转化、最重速度等环节，所以在处理此类问题时，一定要注意由于产生电流，金属杆所受安培力对其运动的影响，同时紧密结合牛顿定律、动量观点和能量观点进行分析求解。
【题型讲解】
题型一 单杆切割磁感线问题
R
B
N
M
θ
θ
图3-6-1
例题1：如图3-6-1所示，两根光滑的平行金属导轨与水平面成θ角放置。导轨间距为L，导轨上端接有阻值为R的电阻，导轨的电阻不计。整个导轨处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上。把一根质量为m，电阻也为R的金属圆杆垂直与两根导轨放在导轨上，从静止开始释放。求：
（1）金属圆杆MN运动的最大速度vm的大小。
（2）金属圆杆MN达到最大速度的1/3时的加速度的大小。
B
θ
图3-6-2
mg
FN
BIL
解析：（1）金属杆向下滑动的过程中切割磁感线，产生感应电动势，从而在电路中产生电流，由右手定则和左手定则，可以得到电流的流向和金属杆所受安培力的方向，画出题目的侧视图和金属杆的受力情况如图3-6-2所示。
随着金属杆速度的增大，产生的电动势E=BLv也增大，电流增大，安培力增大，由牛顿第二定律

金属杆的加速度将减小。
当金属杆所受安培力与重力下滑分力相等时，合力为零，此时金属杆达到最大速度，沿导轨匀速下滑。
此时安培力

金属杆的最大速度

（2）由于
当金属杆达到最大速度的1/3时，安培力

由牛顿第二定律

此时加速度
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
R
v0
B
x
O
图3-6-3
［变式训练］如图3-6-3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为L=0.5m，在导轨的一端接有阻值为R=0.3Ω的电阻，在x0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为B=1T。一质量为m=2kg的金属直杆垂直放置在导轨上，金属直杆的电阻是r=0.2Ω，其它电阻忽略不计。当金属直杆以一定的初速度v0=4m/s进入磁场，同时在恒定功率P=18W的外力作用下向右运动。经过2s金属杆达到最大速度。求：
（1）金属直杆达到的最大速度是多少？
（2）当金属直杆的运动速度大小是5m/s时，金属直杆的加速度是多少？
（答案： vm=6m/s， a=0.55 m/s2）
[思考与总结]

题型二 切割过程中的电量问题
例题2：B
R
P
Q
a
b
c
图3-6-4
如图3-6-4所示，水平放置的光滑平行金属导轨左端接有电阻R，匀强磁场竖直向下，分布在导轨所在的空间。质量为m的金属棒PQ垂直于导轨放置。今使棒以一定的初速度v0向右运动，当其通过a位置时速率为va=1m/s,到c位置时棒刚好停下。设导轨与棒的电阻不计，ab=bc，则：
（1）棒在ab间和bc间两个运动过程中通过电阻的电量之比是多少？
（2）棒通过b点时速率vb是多少？
解析：通过右手定则和左手定则，可以判断出棒在滑动过程中受到的安培力向左，做减速运动。
(1)在ab间，棒产生的平均电动势
回路中电流的平均值
通过电阻的电量
由以上各式可得
同理可得在bc间通过电阻的电量
由于在两个过程中，面积的改变量相等，所以磁通量的变化量也相等
因此
(2)棒在ab间运动过程中，设棒所受安培力的平均值为F1，则

由动量定理

可得
棒在cd间运动过程中，设棒所受安培力的平均值为F2，同理可得

由于 有

可得 m/s
B
M
N
θ
图3-6-5
［变式训练］如图3-6-5所示，足够长的U形框架的宽度L=0.5m，电阻忽略不计，其所在的平面与水平面成θ=37°角，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场方向垂直于导体框平面，一根质量为m=0.2kg，有效电阻R=2Ω的导体棒MN垂直跨放在框架上，该导体棒与框架间的动摩擦因数μ= 0.5。导体棒由静止开始沿框架下滑到刚开始匀速运动，通过导体棒截面的电量共为Q=2C。求：
（1）导体棒匀速运动的速度。
（2）导体棒从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中，导体棒的有效电阻消耗的电功。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）
（答案： v = 5 m/s，W = 1.5 J ）
[思考与总结]

题型三 电磁感应过程中能量转化问题
例题3：如图3-6-6所示，两根竖直固定放置的无限长光滑金属导轨，电阻不计，宽度为L，上端接有电阻R0，导轨上接触良好地紧贴质量为m、有效电阻为R的金属杆ab，R=2R0.整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，金属杆ab由静止开始下落，下落距离为h时重力的功率刚好达到最大，重力的最大功率为P。求：
R0
a
b
图3-6-6
（1）磁感应强度B的大小。
（2）金属杆从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，电阻R0产生的热量。
解析：由楞次定律“感应电流总是要阻碍引起感应电流的磁通量的变化”，金属杆下落，回路磁通量变大，所以安培力阻碍磁通量变大，方向竖直向上。当重力功率最大时，说明金属杆已经达到了最大速度，匀速下滑。所以可由“题型一”中的动态分析列受力平衡求解，也可以由能量分析列式得出。下面我们从能量角度来进行研究。
（1）重力功率最大时，金属杆匀速下滑，说明减少的重力势能全部转化为回路中的焦耳热。因此有重力的功率等于回路中的热功率，即

电动势
所以可得
，
（2）由能量守恒定律

M
图3-6-7
［变式训练］光滑水平导轨宽L=1m，电阻不计，左端接有“6V 6W”的小灯。导轨上垂直放有一质量m=0.5kg、电阻r=2Ω的直导体棒，导体棒中间用细绳通过定滑轮吊一质量为M=1kg的钩码，钩码距地面高h=2m，如图3-6-7所示。整个导轨处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。释放钩码，在钩码落地前的瞬间，小灯刚好正常发光。（不计滑轮的摩擦，取g=10m/s2）求：
⑴钩码落地前的瞬间，导体棒的加速度；
⑵在钩码落地前的过程中小灯泡消耗的电能；
⑶在钩码落地前的过程中通过电路的电量。
（答案： a = 5.3 m/s2 ，E = 8 J，q = 0.5 C ）
[思考与总结]

题型四 双杆切割磁感线问题
F
a1
b1
c1
d1
x1
y1
a2
b2
c2
d2
x2
y2
图3-6-8
例题4：(04全国)如图3-6-8所示，a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
解析：题目中两根杆同时切割磁感线，都产生电动势，一定要注意以下几个问题：一是准确判断两个电动势的连接方式，是串联还是串联反接，从而确定总电动势。二是每根杆所受安培力由总电流决定，所以应先求总电动势，一定不要认为每根杆的电动势决定该杆所受安培力。
设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小
ε＝B(l2－l1)v
回路中的电流
电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆的安培力为
f1＝Bl1I
方向向上，作用于杆的安培力为 f2＝Bl2I
方向向下。当杆作为匀速运动时，根据牛顿第二定律有
F－m1g－m2g＋f1－f2＝0
解以上各式，得

作用于两杆的重力的功率的大小：P＝(m1＋m2)gv
电阻上的热功率 Q＝I2R
由以上各式，可得：

v
v
图3-6-9
［变式训练］如图3-6-9所示，两根相距d=0.2m的平行金属长导轨，固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上横放着两根金属细杆，构成矩形回路，每根金属细杆的电阻r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下，沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5m/s，不计导轨上的摩擦。
（1）求作用于每根金属细杆的拉力的大小；
（2）求两金属杆在间距增加0.4m的滑动过程中共产生多少热量。
（答案： F = 0.032 N ，Q = 0.0128 J ）
[思考与总结]

× × × × ×
× × × × ×
B
h
H
F
a
b
c
d
Ⅰ
F
a
b
c
d
Ⅰ
图3-6-10
题型五 线圈切割磁感线问题
例题5：如图3-6-10所示，在平行虚线范围内有磁感应强度B=1.0T，高度h=1.0m，方向垂直纸面向里的水平匀强磁场区域。线框abcd的质量m=0.1kg，电阻R=1.0Ω，边长L=1.0m，线框平面跟纸面平行。开始时线框cd边跟磁场下边缘相距H，当用一竖直向上的恒力F=3.0 N提线框，从位置Ⅰ由静止向上运动穿过磁场区域，最后到达位置Ⅱ，此时ab边恰好出磁场，线框平面在运动过程中始终保持在垂直于磁场方向的竖直平面内，如果cd边刚进入磁场时，线框恰好做匀速运动，求在上述整个过程中恒力F做的功及线框内产生的焦耳热。（g=10m/s2）
解析：这道题的关键是解决线圈在磁场中的运动形式。由于其刚进入磁场时做匀速运动，所以其产生的电动势以及受到的安培力均为定值，这样正好保证线圈在磁场中始终受力平衡，因此线圈在磁场中一直做匀速运动，直至出场。
线圈在外力F的作用下向上做加速运动，到cd边刚进入磁场时，由动能定理

此时产生的电动势和电流分别为
，
线圈受到的安培力

线圈做匀速运动，有

由以上各式可得 H = 0.1 m，v = 2.0 m/s
整个过程中外力做功
W = F ( H + h + L ) = 6.3 J
由能量守恒定律
=4.0 J
a
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
x
o
b
c
d
2L
B
图3-6-11
［变式训练］如图3-6-11所示，用电阻丝焊接的边长为2L的正方形线圈abcd，ab边电阻为2r，其余三边电阻均为r，现将线圈放在光滑水平面上，在外力作用下线圈以垂直于ab边的速度v在水平面上匀速通过一宽度为L的有理想边界的匀强磁场区域，磁场边界与ab边平行，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。
（1）以磁场区域的左边界为x轴的原点，请在右边坐标中定量画出abcd线圈在穿过该磁场的过程中，ab两点的电势差U随ab边的位置x而变化的图象（a点电势高于b点电势时为正）。
（2）求出abcd线圈在穿过该磁场过程中，外力所做的功。
（答案： （1）图略；（2） ）
[思考与总结]

强化训练
图3-6-12
1、（2002·上海）如图3-6-12所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B．一根质量为m的金属杆从轨道上静止自由滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则（ ）
A．如果B增大，vm将变大
B．如果变大，vm将变大
C．如果R变小，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
2、 (06重庆) 两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图3-6-13图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v1 沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速率向下v2匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是 ( )
图3-6-13
A．ab杆所受拉力F的大小为
B．cd杆所受摩擦力为零
　 C．回路中的电流强度为
D．μ与v1大小的关系为μ＝
3、如图3-6-14所示，在光滑水平面上有一个竖直向上的匀强磁场，分布在宽度为l的区域内。现有一个边长为a的正方形闭合导线框（a<l），以初速度v0垂直于磁场边界沿水平面向右滑过该磁场区域，滑出时的速度为v。下列说法中正确的是（ ）
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪
▪

▪
▪
▪
▪
▪
l
v0
v
a
图3-6-14
A．导线框完全进入磁场中时，速度大于
B．导线框完全进入磁场中时，速度等于
C．导线框完全进入磁场中时，速度小于
D． 以上三种都有可能
图3-6-15
4、(08北京)均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m。将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图3-6-15所示。线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小;
（2）求cd两点间的电势差大小;
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。

图3-6-16

5、如图3-6-16所示，电动机牵引一根原来静止的、长L为1m、质量m为0.1kg的导体棒MN上升，导体棒的电阻R为1Ω，架在竖直放置的框架上，它们处于磁感应强度B为1T的匀强磁场中，磁场方向与框架平面垂直。当导体棒上升h=3.8m时，获得稳定的速度，导体棒上产生的热量为2J，电动机牵引棒时，电压表、电流表的读数分别为7V、1A，电动机内阻r为1Ω，不计框架电阻及一切摩擦，求：
（1）棒能达到的稳定速度；
（2）棒从静止至达到稳定速度所需要的时间。

图3-6-17
6、如图3-6-17所示，光滑弧形金属双轨与足够长的水平光滑双轨相连，间距为L。在水平轨道空间充满竖直向上的匀强磁场。磁感应强度为B，质量为m2，电阻为R2的乙金属棒静止在双轨上。而质量为m1，电阻为R1的甲金属棒由h高处由静止滑下，轨道电阻不计，甲棒与乙棒不会相碰。求：
(1)整个过程中，乙棒受到的最大磁场力
(2)整个过程中，电路释放的热量

× × × ×
× × × × × × × ×
× × × ×
× × × ×
a
b
图3-6-18
7、用一根粗细均匀的电阻值为40 Ω的光滑金属丝弯曲成圆环，固定在磁感应强度为2T，方向垂直纸面的匀强磁场中，圆环直径为10cm，有一长度为10cm的金属棒ab，电阻为1Ω，水平放在圆环下，如图3-6-18所示，且ab棒以速度10m/s紧靠圆环做匀速直线运动，运动过程中棒与金属丝的接触良好，当棒到达图中所示圆环圆心的位置时，求：
（1）此时金属棒切割磁感线产生的瞬时感应电动势。
（2）此时流过金属棒的电流的大小及棒两端的电压。
（3）若金属棒ab重力不计，求此时作用在棒上外力的瞬时功率。

图3-6-19
8、（07四川）如图3-6-19所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为 m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框 abcd 置于竖直平面内，两顶点 a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为 B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态。不计其余电阻和细导线对 a、b 点的作用力。求
（1）通过 ab 边的电流Iab是多大？
（2）导体杆 ef 的运动速度v是多大？

图3-6-20
9、如图3-6-20所示，足够长的两根相距为0．5m的平行光滑导轨竖直放置，导轨电阻不计，磁感应强度B为0．8T的匀强磁场的方向垂直于导轨平面。两根质量均为0．04kg、电阻均为0．5Ω的可动金属棒ab和cd都与导轨接触良好，导轨下端连接阻值为1Ω的电阻R，金属棒ab用一根细绳拉住，细绳允许承受的最大拉力为0．64N。现让cd棒从静止开始落下，直至细绳刚被拉断，此过程中电阻R上产生的热量为0．2J，求：
　　（1）此过程中ab棒和cd棒产生的热量；
　　（2）细绳被拉断瞬时，cd棒的速度v。
　　（3）细绳刚要被拉断时，cd棒下落的高度h。

●
●
C
B
A1
A2
H
S
V0
L
图3-6-21
10、（2006高考广东卷16）如图3-6-21所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的U型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2。开始时两根金属杆位于同一竖直面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r，现有一质量为 的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求：
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；
（3）当杆A2与杆A1的速度比为1：3时，A2受到的安培力大小。

11、（07重庆23）t=0时，磁场在xOy平面内的分布如题3-6-22图所示。其磁感应强度的大小均为B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。每个同向磁场区域的宽度均为l0。整个磁场以速度v沿x轴正方向匀速运动。
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
图3-6-22
x
y
a
b
c
d
v
O
l0
l0

（1）若在磁场所在区间，xOy平面内放置一由a匝线圈串联而成的矩形导线框abcd，线框的bc边平行于x轴。bc=l0、ab=L，总电阻为R，线框始终保持静止。求
①线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小；
②线框所受安培力的大小和方向。
（2）该运动的磁场可视为沿x轴传播的波，设垂直于纸面向外的磁场方向为正，画出L=0时磁感应强度的波形图，并求波长和频率f。
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