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立体几何导学提纲
一、目标：了解点、线、面的位置关系；三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换；结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤；理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则；灵活运用线面、面面的判定定理和性质定理，实现“线面”“面面”的转化。
二、提纲：
基本图形
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①★
②四棱柱 底面为平行四边形 侧棱垂直于底面 底面为矩形

底面为正方形 侧棱与底面边长相等 正方体

2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是 ，并且顶点在底面的射影是
3．球(注：球的有关问题转化为圆的问题解决)
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）
球与多面体的组合体：球与长方体，球与正方体等的内接★与外切.

4、直观图：1）、用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
2)、斜二测画法保持_______和_______不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线。
练习：①．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。
以上结论中，正确的是 。
②．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
③．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5、三视图：1）．空间几何体的三视图是指 、 、 。
2）．三视图的排列规则是 放在正视图的下方，长度与正视图一样， 放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。
3）．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
练习：
①．一个几何体的三视图如下图，则这个几何体的名称是 。
②．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

③．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥 C．四棱台D．三棱台

④．如图甲所示，在正方体中，E、F分别是、的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 。

⑤．如图（1）所示，E、F分别为正方体面、面的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的 。

6、空间几何体的表面积与体积
棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。

表面积公式

表面积公式
体积公式
直棱柱

圆柱

正棱锥

圆锥

正棱台

圆台

（其中c：下底面周长，c’：上底面周长，r：下底面半径，r’：上底面半径，
l：母线长，h：高，h’：斜高）
球面积、体积公式：（其中R为球的半径）
练习：
①．圆锥的底面半径为1，高为，则其表面积为______
②．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则体积为___________
③．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A．1:2:3 B．1:7:19 C．3:4:5 D．1:9:27
④．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:6 D．1:8
⑤．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为_______________
⑥．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为______________体积为______________
⑦．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为______________体积为______________
⑧．已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S。
⑨．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标
出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是__________
（10）、表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.
（11）、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 .
（12）、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 .
空间线面关系
1．四个公理
公理1　如果一条直线上的 ，那么这条直线在此平面内；
用符号表示为： ；
公理2　过 的三点，有且只有一个平面；
公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线；
用符号表示为： ；
公理4　 的两条直线互相平行；用符号表示为： ；
2．异面直线
（1）异面直线所成角的的作法： ；异面直线所成角的范围： .
（2）空间两条直线的位置关系：
（3）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角

练习：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　)A. B. C. D.
5.如右图所示，已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面AC，且PA＝AD＝AB＝1，BC＝2.
(1)求PC的长；
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小．

3．空间中直线与平面之间的位置关系：（1） ；（2） ；（3） .
直线与平面 的情况统称为直线在平面外．
4．平面与平面之间的位置关系：（1） ；（2） ．
5.平行：（1）直线和平面的位置关系： 、 、 。
（2）平面和平面的位置关系： 、 。
（3）线面平行和面面平行的判定定理和性质定理：
线面平行判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；
线面平行性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过此直线的平面和这个平面的 和这条直线平行。
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

面面平行判定定理: 如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

面面平行性质定理1: 两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都 于另一个平面。
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

面面平行性质定理2: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．
符号语言表述为: 图形语言表述为:

=> ；

练习：
①如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
E是PC的中点，证明：PA∥平面BDE。

②如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D点为棱AB的中点，
求证：AC1∥平面CDB1.

③如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， Q是CC1上的中点，
证明：平面D1BQ∥平面PAO

④如图，四棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.

⑤如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P－ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：AP∥GH.

6.垂直：（1）线线垂直的位置关系： 、 。

（2）线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理：

线面垂直判定定理1: 如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；

线面垂直判定定理2: 如果两条平行直线中有一条直线垂直于某个平面，那么另一条直线 垂直于此平面．
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；

线面垂直性质定理1: 如果一条直线和一个平面垂直,那么此直线和这个平面的 垂直。
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；
线面垂直性质定理2: 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 。
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；

面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；

面面垂直性质定理: 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面。
符号语言表述为: 图形语言表述为:
=> ；

①已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC
求证：

②四面体A-BCD中，
求证：

S
A
B
C
③S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,
求证AB⊥BC.

④已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将折起，使点C移到点，且

⑤如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：
⑴平面平面
⑵BD⊥平面AEF

3、练习：
① 正方体，，E为棱的中点．
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

②已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．

③
如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，， ，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线；
（Ⅱ）求棱锥的体积.

④如图3，在圆锥中，已知的直径
的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．

⑤如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为

⑥如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。
（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

⑦如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

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