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《相似三角形的复习》教学案例
十堰市房县万峪中学 何明辉
内容摘要：数学来源于生活，生活中处处有数学，通过复习进一步整合考点，提高学生应用知识的能力。
关键词：整合教材 提升能力 数学与生活 知识与能力
【教学目标】
1．综合运用相似三角形的判定和性质熟练解决问题。
2．系统总结常用数学思想方法，提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过问题情境的设置，培养积极的进取精神，增强数学学习的自信心。实现生生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值。
【教材分析】
本节复习课立足学生已经掌握的有关相似三角形的内容，从简单、基础的练习入手，采用直观、类比的方法，逐步设疑，引导学生积极参与讨论，思考问题，肯定成绩，使其具有成就感。本课的教学重点和难点是综合运用相似三角形的判定和性质解决实际问题。
【教学互动设计】
一．复习引入
师：今天我们复习相似三角形。大家课前已经各自整理了相似三角形的相关知识点。现在谁先上来展示一下？
（学生讨论后作答） 教师和学生整理板书如下：
定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
判定：
1．两角对应相等的两个三角形相似。
2．三边对应成比例的两个三角形相似。
3．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
性质：
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
3．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用：
测量旗杆高、河宽等
师：那么碰到具体的问题大家能不能运用这些判定和性质来顺利解决呢？
生：能。
A
B
二．小试牛刀
师：就请大家来小试牛刀。先看第一个问题。
O
如图, 线段AC、BD相交于点O，要使△AOB∽△DOC，
C
D
已经具备的条件是____________,还需要添加条件
是___________或___________或__________。
生：（思考，口答）已经具备的条件是∠AOB=∠COD，还需要添加的条件是∠A=∠D或∠B=∠C或。
师：你能告诉我们这样添加条件的理由吗？
生：（思考，口答）理由分别是：两角对应相等的两个三角形相似，还有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
师：看来大家对相似三角形的判定掌握得不错。看看第二个问题怎么样？
A

2．如图，△ABC中，D是AB上的一点，AD=4，
D
AC=6，当AB=_____时，△ACD∽△ABC，它

B
C

们的相似比是______，S△ACD：S△BCD=______。

生：（口答）AB=9，相似比是2：3 S△ACD：S△BCD=4:5_。
师：你是怎样求出的？
生：（思考，口答）要使△ACD∽△ABC，已经具备的条件是∠A=∠A，还需满足，求出AB=9。
因为S△ACD：S△ABC=4：9，所以S△ACD：S△BCD=4：5
师：大家完成得不错。我们知道相似三角形在生活中有着广泛的应用，你能举些例子吗？
生：利用相似三角形的有关知识可以用不同方法测量旗杆高：可以解决杠杆问题；可以解决小孔成像问题……
三．身临其境
师：你们知道的可真不少。我们就来身临其境地感受一下。
3．设在小孔O前24cm处有一支长18.6cm的蜡烛，经小孔成像，在小
孔O后面10cm的屏幕上所成像的长是多少？
师：怎么解决这个实际问题呢？
生：（思考，口答）可以根据光路构造出两个三角形，从小孔O到蜡烛的距离和小孔到成像板的距离可以用三角形的高来表示。（上台在屏幕上指出）
E
师：很好，你从这个实际问题中抽象出了数学图形。接下来我们利用数学知识来解决问题。让我们再一起结合图形来看一下，题中告诉我们哪些已知条件？
A
C
生：（思考，口答）
O
已知：如图，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD，
F
E
OF=24cm，OE=10cm，AB=18.4cm
B
D
（生说，师板演）
师：问题要求什么？
生：CD的长（生说，师板演）
师：怎样解答？
生：（思考，口述过程，师板演）
师：请大家想一想，今后碰到这样的实际问题，解决它的关键是什么？
生：把实际问题转化为数学问题再进一步解决。
师：说的很好。同学们学会了运用相似三角形的有关知识测量旗杆高、树高，今天你能否现场运用相似三角形的有关知识帮我解决一个问题。
4．我有一罐饮料，已经喝掉了一部分，你能利用直尺和一根小木棒，结合相似三角形的有关知识，设计一个方案帮我测出罐内剩余饮料的液面高度吗？
师：大家思考一下，该怎么办？
生：（生思考，讨论）
师：设计好方案的同学来跟我们说说吧。工具和材料都在这，为了让大家看得更清楚，我将饮料换成了蓝墨水。
生1：我可以将小木棒竖直着插入罐内，木棒上沾到墨水必定有墨水印，然后将棒取出，量出沾到墨水部分的长度，就是罐内墨水的深度。
生：（其余学生有不同意见）你怎么保证插下去一定是垂直于底面的呢？
师：是啊。如果你能保证这么插下去一定垂直于底面，倒也不失为一种简便的方法。可现在我就这么随便一放，该怎么办呢？
生2：我将小棒斜插进罐内，在木棒靠在小口处做好记号，然后将木棒取出，量出沾到墨水部分的长度，标记处到木棒底端的长度以及罐高。
A

B
如图：也就是量出AD、BC、AC的长，
E
再利用相似三角形的对应边成比例先求
出AE的长，最后用AD减去AE就是
C
D
ED的长，也就是罐内液面的高度了。

师：方案和计算过程讲解得都很清楚。小明就按第二种方案操作了一下，测得数据如下：AC=13cm，BC=9cm，AD=12cm，你能很快求出液面高吗？(结果保留2个有效数字）
生：（每个学生都写出解答过程，请一名学生板演）
师：让我们一起来看他的解答过程，你能评价一下吗？
生：（其余学生作出评价）
师：想一想，解决这一类方案设计问题的一般步骤是什么？
一般步骤：
⑴．设计测量方案
⑵．画出示意图,记录需测量数据
⑶．运用数学知识计算得出结论
四．大显身手
师：从相似三角形有关知识的基本应用到实际应用，大家的表现都很精彩。我决定给大家一个大显身手的机会，来试一试，比一比。
F
H
A
G
5．如图是由三个单位长度为1的小正方形
成的矩形，如果我们把三个顶点都在小
C
E
D
B
正方形的顶点上的三角形称为格点三角形，
如：△ACD。
你能画出与△ACD全等的格点三角形吗？
你能画出与△ACD相似(但不全等)的格点三角形吗?
生：（思考，操作，讨论）
师：画好了吗？谁来跟我们讲讲，你是怎么找的？找到几个呢？
生1：我画的时候并没有什么方法，但画完后我发现可以以△ACD为基本图形，分别进行上下、左右的翻折、平移等变化而得到其他满足要求的三角形。我一共找到7个。
师：画完之后进行反思，利用图形变化的方法挺不错的。还有补充吗？
生：（都认为是7个）
师：为了不重不漏地找全要求的全等三角形，需要用到分类的思想方法。大家还有不同方法吗？
生2：因为要保证全等，那么另外的三角形中一定也有一条与CD等长，也就是长为1的边，所以我从BC边开始，到CD、DE……依次找到全等三角形。师：你用到了另外一种分类的方法，也挺不错。
（课后完成找相似但不全等的三角形）
五．畅所欲言
师：今天这堂课大家的收获多不多啊？你可以畅所欲言，谈谈你的收获和体会。
生：（畅所欲言，谈自己的收获和体会）
师：大家的收获很多，我相信以后更多的应用都难不倒同学们了。大家努力，继续冲刺！
六．各显神通
A组
1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（ ）
A．∠A：∠A′　　　B．A′B′：AB C．∠B：∠B′　　　　　　D．BC：B′C′
2．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A．30°　　　　　　　　　B．50° C．40°　　　　　　　D．70°
3．三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（ ）
A．15cm　　　　　　　B．18cm C．21cm　　　　　D．24cm
4．如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（ ）

A．1对　　　　　　　　B．2对 C．3对　　　　　　　D．4对
5．△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（ ）
A．　　　　　　B． C．　　　　D．
6．已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）
A．　　　　　　　B． C．　　　　　D．
7．如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（ ）

A．8：3　　　　　　　　　B．3：8 C．8：5　　　　　　　　　　　　　D．5：

B组
1．如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来.

2．在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN.

【案例自我剖析】
我对这堂课的设计是让学生经历整理知识结构、小试牛刀、身临其境、各显神通这几个环节来复习相似三角形的有关知识。虽然这堂课是“未完待续”，但仍带给我不少收获。
全体参与整理知识结构，在交流中互相学习
一．“看一遍不如讲一遍，讲一遍不如做一遍”。
以往复习课中常常是由老师越疽代疱梳理知识，学生仅仅做了听客和陪衬。而我则让学生亲身经历梳理、自主建构知识网络，给予他们充分展示自己个性的空间，使他们人人参与学习过程，情感、态度、学习能力都得到培养和发展。整理工作是提前布置的，这就给了学生充分的看书、梳理的时间。我对他们给予的指导是根据知识点和它们之间的联系进行整理，整理出来的内容一定要简洁清晰，一目了然。学生兴趣高昂，交流的时候出现了树状图、括号图等方案，且图形皆备，效果比较好。
二．选择习题层次分明，难易结合
复习课上习题的选择，既要使学生巩固所学的知识，进一步培养其分析问题，解决问题的能力，给学有余力的学生一个施展才智的机会，又要使师生能交流信息，收集教学反馈信息。习题是对教与学两个方面的检测，练习的质量和效果，是教学成功与否的标志之一。在小试牛刀环节我把知识点的应用分成两个层次，一为相似三角形判定和性质的直接应用，二为它们的综合运用。从学生的回答可以看出，大家对相似三角形的判定和性质的理解比较深刻。而在身临其境和大显身手两个环节则为不同层次的同学创造了一个展示思维与表现自我的空间，学生的回答切中要点，十分精彩。既明白了练习的目的是什么，巩固的是哪些知识点，还总结出了解决该类问题常用的方法是什么。这样既巩固了分散的知识，又掌握了解决问题的一般规律。
三．方案设计，动手动脑，直观印象与理性思维并重
应用相似三角形的有关知识来解决一些实际问题是让学生体会学这些知识的价值的重要体现。开始时我只是找了一些创设了实际情境的习题，学生可能仍是就题论题，无法体会创设这个情境的意义。于是在其他老师的提醒和帮助下，我想到了变情境题为方案设计题，让学生亲自体验一下测量易拉罐内剩余液体高度的过程，继而顺理成章地领会应用相似三角形有关知识的价值。学生对这个都比较感兴趣，发表了自己的见解。在叙述的过程中出现了直插与斜插两种不同方案的碰撞，也展示了学生良好的学习习惯，有同学清晰、细致的方案描述，还有 清楚、有条理的板书等。同学们在一步步的引导下，将一个实际问题转化成数学问题继而进一步解决。所以说引人入胜的情境能激活学生的思维，让学生置身于喜闻乐见的动态情境中，学生更能全身心地融入到复习教学中去。因此，复习课教学也应从关注学生的认知领域转变到生命领域，将学习目标由知识层次提升到生命层次，创设学生感兴趣的情境，让复习在一个洋溢着生命活力的、动态的氛围中进行。正如《数学课程标准》指出的：“数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的生活经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习合作交流的情境，使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心。使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。”
有听课老师提出测量易拉罐内剩余液体的高度这个实验的实际意义并不大，的确存在这个问题。经过与组内老师的交流我得知在实际生活中驾驶员测量油桶内的余油量用的方法跟课上讲的内容很相似，因此我想如果以课堂上所做的简易实验来“抛砖引玉”，再把问题回归到测量余油量上，那么这个设计方案的提出将与实际生活联系得更为紧密。
四．题后归纳，引导学生作反思
每解决一个问题，我都会引导学生反思解题过程、回顾解题思维、体会解题中所使用的思想方法。其中有位同学说的一句话让我印象深刻，她说：“我本来并没有什么方法，只是做完后再看时总结出了一种方法。”这不正是题后反思所体现的内涵吗？在解题顺利时，更需要对解题过程再审视、再探索，从偶然性中发现必然性，寻找其中蕴涵的内在规律。学习数学就要领悟到数学思想方法的价值，从而学会运用数学思想方法将所学知识由未知转化到已知。笛卡尔说：“走过两遍的路就是方法。”数学思想方法最终要为学生所领悟掌握，回顾反思是一条必经之途。
这一堂复习课改变了以往复习课纯粹讲解例题的方式，从实际出发，强调如何把一个实际问题抽象成数学问题，不断渗透数学解题方法，更多地关注学生学习能力的培养、习惯和态度的形成，从而促进学生对数学的学习，产生积极的态度，同时又提高了课堂教学效率。虽然这堂课的教学方法与以往有了很大的不同，但课堂教学效益仍有待提高，我在今后的教学实践中还须不断努力、不断尝试、不断研究、不断创新以取得更大的进步。

【参考文献】
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[6] 朱德云．形数结合解竞赛题．中学数学（下半月刊），2008,10
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