资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．若是一元二次方程，则的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
3．反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
4．如图，正六边形ABCDEF内接于，M为EF的中点，连接DM，若的半径为2，则MD的长度为
A． B． C．2 D．1
5．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝1．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
6．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
7．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3
8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．：1
9．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为( )
A．1 B．-8 C．-7 D．7
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________．
12．__________．
13．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值_____．
14．把二次函数变形为的形式，则__________．
15．如图，扇形ABC的圆心角为90°，半径为6，将扇形ABC绕A点逆时针旋转得到扇形ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，若点D刚好落在上，则阴影部分的面积为_____．
16．因式分解：______.
17．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为_____．
18．如图，已知是直角，在射线上取一点为圆心、为半径画圆，射线绕点顺时针旋转__________度时与圆第一次相切.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；
（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；
（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．
20．（6分）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．
22．（8分）（1）计算：
（2）解方程）：
23．（8分）如图，在中，，点为上一点且与不重合．，交于．
（1）求证：；
（2）设，求关于的函数表达式；
（3）当时，直接写出_________．
24．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点F，交BC于点D，交AB于点G，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若⊙O的半径长为3，AF=4，求CE的长．
26．（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
2、C
【分析】根据一元二次方程的概念即可列出等式，求出m的值．
【详解】解：若是一元二次方程，
则，解得 ，
又∵，
∴，
故，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义并列出等式是解题的关键．
3、D
【分析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
【详解】A、图象经过点（1，﹣1），正确；
B、图象位于第二、四象限，故正确；
C、双曲线关于直线y＝x成轴对称，正确；
D、在每个象限内，y随x的增大而增大，故错误，
故选：D．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，熟记性质并运用解题是关键.
4、A
【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．
【详解】连接OM、OD、OF，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，
∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF•sin∠MFO=2×=，
∴MD=，
故选A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
5、A
【解析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=1，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
6、B
【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2.
考点：反比例函数的性质
7、A
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将二次函数y＝x1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到：y＝x1+1，
再沿x轴向左平移3个单位长度得到：y＝（x+3）1+1．
故选：A．
【点睛】
解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．
8、A
【解析】根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度．
【详解】水平距离==4，
则坡度为：1：4=1：1．
故选A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
9、B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】将化为顶点式，得．
将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10、D
【解析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的一个根是1，
∴1+m−8=0，
解得：m=7.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数，a=−1<0，
∴抛物线开口向下，
∵当时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
12、
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
13、1
【解析】由tan∠AOD＝，可设AD＝1a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【详解】解：∵tan∠AOD＝＝，
∴设AD＝1a、OA＝4a，
则BC＝AD＝1a，点D坐标为（4a，1a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数 经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝ 或a＝0（舍），
∴D（2， ）
则k＝2×＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
14、
【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.
【详解】,
∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.
15、3π+9．
【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD，进而得出答案.
【详解】
解：连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，
∵将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
则∠ABN＝30°，
故AN＝3，BN＝3，
S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD
＝﹣（﹣×6×3）
＝3π+9．
故答案为3π+9．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积求法以及等边三角形的判定与性质. 正确得出△ABD是等边三角形是关键.
16、
【分析】先提取公因式，然后用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：
故答案为：.
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握提取公因式法和公式法的结合是解决此题的关键.
17、2(1+x)+2(1+x)2=1.
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．
【详解】设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2（1+x），
明年的投资金额为：2（1+x）2，
所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=1．
故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
18、60
【分析】根据题意，画出旋转过程中，与圆相切时的切线BA1，切点为D,连接OD，根据切线的性质可得∠ODB=90°，然后根据已知条件，即可得出∠OBD=30°，从而求出旋转角∠ABA1．
【详解】解：如下图所示，射线BA1为射线与圆第一次相切时的切线，切点为D,连接OD
∴∠ODB=90°
根据题意可知：
∴∠OBD=30°
∴旋转角：∠ABA1=∠ABC－∠OBD=60°
故答案为：60
【点睛】
此题考查的是切线的性质和旋转角，掌握切线的性质是解决此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析;(3) 直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）3.3或4.3
【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；
（3）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系；
（3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解.
【详解】（1）如图．
（3）判断：直线DE是⊙O的切线．
证明：连结OD，交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴．
∴OD⊥BC于F．
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE于D．
∴直线DE是⊙O的切线．
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=1．
∵∠BOF=∠ACB=90°，
∴OD∥AC．
∵O是AB中点，
∴OF==3．
∵OD==5，
∴DF=3．
∵DE∥BC，OD∥AC，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵∠ODE=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形．
∴CE=DF=3．
【点睛】
本题结合圆考查圆的尺规作图以及圆的切线定义和矩形的证明，分别掌握其方法定义进行分析.
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，证明，可得，则；
（2）证明，，则，可求出，则答案可求出．
【详解】解：（1）证明：连接OB，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠ABE+∠OAB＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠OAB+∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ADB，
∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC，
即DB平分∠ADC；
（2）解：∵tan∠ABE＝，
∴设AB＝x，则BD＝2x，
AD＝＝x，
∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，
∴△AEB∽△BED，
∴BE2＝AE•DE，且＝＝，
设AE＝a，则BE＝2a，
∴4a2＝a（a+x），
∴a＝x，
∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，
∴△AEB∽△CBD，
∴，
∴＝，
解得＝3，
∴AD＝x＝15，
∴OA＝．
【点睛】
本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
21、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合，即可求解．
【详解】（1）∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM=DC，
∵BD=DC，
∴，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴．
（3）过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又∵BC=10，
∴AM=1．
∵DE∥AM，
∴
∴，
∴DE=．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质定理，等腰三角形的性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22、 (1) ；（2）
【分析】（1）先分别计算二次根式和三角函数值，以及零次幂，再进行计算即可；
（2）先根据一元二次方程进行因式分解，即可求解．
【详解】解（1）原式=
=
=
（2）
∴
∴
【点睛】
本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，掌握二次根式和三角函数值，以及零次幂、因式分解法一元二次方程是解题的关键．
23、（1）详见解析；（2）；（3）1
【分析】（1）先根据题意得出∠B＝∠C，再根据等量代换得出∠ADB＝∠DEC即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出，将相应值代入化简即可得出答案；
（3）根据相似三角形的性质得出，再根据已知即可证明AE=EC从而得出答案．
【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＋∠CDE＝∠CDE＋∠DEC＝135°
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE
（2）∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
则DC＝，
代入上式得：
，
∴，
即
（3）,
在中，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，先根据△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，从而推出△PAC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到PC的值．
【详解】（1）连接CO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC=PA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，
∴PC⊥CO，
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
为⊙O直径，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
25、（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）CE长度为1
【分析】（1）连接OD，如图，根据等腰三角形的性质和等量代换可得∠ODB=∠C，进而可得OD∥AC，于是可得OD⊥DE，进一步即可得出结论；
（2）连接OF，由切线的性质和已知条件易得四边形ODEF为矩形，从而可得EF=OD=3，在Rt△AOF中根据勾股定理可求出AO的长，进而可得AB的长，即为AC的长，再利用线段的和差即可求出结果．
【详解】解：（1）DE与⊙O相切；理由如下：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）如图，连接OF；
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形，
∴EF=OD=3，
在Rt△OFA中，∵AO2=OF2+AF2，
∴，
∴AC=AB=AO+BO=8，CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1．
答：CE长度为1．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
26、（1）m＜；（2）﹣1．
【解析】试题分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式可得出，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
试题解析：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜，∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m的值为﹣1．
考点：根与系数的关系；根的判别式．
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