资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（ ）
A．代入法 B．列举法 C．从特殊到一般 D．反证法
2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（－1，0） D．（0，－1）
3．已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A．±1 B．0 C．1 D．-1
4．如图，在中，弦AB=12，半径与点P，且P为的OC中点，则AC的长是（ ）
A． B．6 C．8 D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（ ）
A．点B B．点D C．点E D．点A
6．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
7．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
8．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
9．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
11．已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞1
12．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于______.
14．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为_____．
15．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
16．已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD＝_____________．
17．抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是____________.
18．若是一元二次方程的两个实数根，则_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
20．（8分）若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．
21．（8分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a= ，b= ；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）如果该校九年级共有女生360人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？
（4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
22．（10分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
23．（10分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
24．（10分）如图，在中，，，垂足分别为，与相交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
25．（12分）如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线;
（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的长.
26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的问题和研究方法”是从特殊到一般．
【详解】∵全等图形是相似比为1的相似图形，全等是特殊的相似，
∴由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法，是从特殊到一般的数学方法．
故选C．
【点睛】
本题主要考查研究相似三角形的数学方法，理解相似三角形和全等三角形的联系，是解题的关键．
2、D
【详解】当x=0时，y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.
故选D.
3、A
【分析】利用一元二次方程解得定义，将代入得到，然后解关于的方程.
【详解】解：将代入得到，
解得
故选A
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解.
4、D
【分析】根据垂径定理求出AP，连结OA根据勾股定理构造方程可求出OA、OP，再求出PC，最后根据勾股定理即可求出AC．
【详解】解：如图，连接OA，
∵AB=12，OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AP=BP=AB=6，
∵P为的OC中点，
设⊙O的半径为2R，即OA=OC=2R，则PO=PC=R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2=OP2+AP2，
即：(2R)2=R2+62，
解得：R=，
即OP=PC=，
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2，
即AC2=62+
解得：AC=
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键．
5、D
【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
【详解】如图，连接CE，
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝=3，
∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD＝AC= 2，CE＝AB=，
∵⊙C的半径为3，BC=3，，，
∴点B在⊙C上，点E在⊙C内，点D在⊙C内，点A在⊙C外，
故选：D．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．
6、B
【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．
7、B
【分析】设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.
【详解】设白球的个数为x，
由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，
则利用概率公式得：，
解得：，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.
8、A
【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
9、A
【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，
故选A．
10、C
【解析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．
【详解】
过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90，
∵∠A=30,AC=，
∴CD=AC=,由勾股定理得：AD=CD=3，
∵tanB==，
∴BD=2，
∴AB=2+3=5，
故选C.
【点睛】
本题考查解直角三角形.
11、B
【分析】直接利用关于原点对称点的纵横坐标均互为相反数分析得出答案．
【详解】点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，
则，
解得：a＜﹣．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
12、A
【解析】首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴△＝，
即△＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、.
【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.
【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.
【点睛】
本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法.
14、
【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出，根据平行线分线段成比例定理，求出，最后由三角形的面积的和差法求得．
【详解】连接DC，设平行线间的距离为h，
AD=2a，如图所示：
∵，
，
∴S△DEF=S△DEA，
又∵S△DEF=1，
∴S△DEA=1，
同理可得：，
又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，
∴，
又∵平行线是一组等距的，AD=2a，
∴，
∴BD=3a，
设C到AB的距离为k，
∴ak，
，
∴，
又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．
15、2
【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），
由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．
16、55°
【分析】这道题可以根据CD为斜边AB的中线得出CD=AD，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.
【详解】如图，∵CD为斜边AB的中线
∴CD=AD
∵∠A=35°
∴∠A=∠ACD=35°
∵∠ACD+∠BCD=90°
则∠BCD=90°- 35°=55°
故填：55°.
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.
17、
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则a-1＜0，然后解不等式即可．
【详解】∵抛物线y=（a-1）x1在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a-1＜0，解得a＜1．
故答案为a＜1．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．
18、1
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出，即可求得答案．
【详解】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的两个根为，则，.
三、解答题（共78分）
19、（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
又∵AD=AE，AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，
在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【点睛】
考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.
20、
【分析】用顶点式表达式，把点（1，-2）代入表达式求得a即可．
【详解】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，
∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣1．
【点睛】
考查的是求函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便．
21、（1）0.3，4；（2）见解析；（3）198；（4）.
【分析】（1）由第一组的频数和频率得到总人数，乘以0.2即可得b的值，用1−0.15−0.35−0.20可得a的值；
（2）根据表格中第二组的数据将直方图补充完整；
（3）利用样本估计总体的知识求解即可得答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求答案．
【详解】解：(1)a=1−0.15−0.35−0.20=0.3；
总人数为：3÷0.15=20(人)，
b=20×0.20=4(人)；
故答案为：0.3，4；
（2）补全统计图如图：
(3)估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：360×(0.35+0.20)=198(人)；
(4)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有6种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率P=.
【点睛】
本题考查统计图与概率的计算，找到统计图中数据的对应关系是解题的关键.
22、（1）剩余木料的面积为6dm1；（1）1．
【分析】（1）先确定两个正方形的边长，然后结合图形解答即可；
（1）估算 和 的大小，结合题意解答即可.
【详解】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm1和31dm1，
∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，
∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm1）；
（1）4＜3＜4.5，1＜＜1，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出1块这样的木条，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是二次根式的应用，掌握无理数的估算方法是解答本题的关键.
23、（1）证明见解析；（2）AD=2．
【解析】（1）如图，连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【详解】（1）如图，连接OA，交BC于F，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
24、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】(1)，
，
，，
，
；
(2)由，可得，
，
，
．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．
25、（1）证明见解析（2）PB=3
【分析】（1）通过证明△PAO≌△PBO可得结论；
（2）根据tan∠BAD=，且OC=4，可求出AC=6，再证得△PAC∽△AOC，最后利用相似三角形的性质以及勾股定理求得答案．
【详解】解：（1）连结OB，则OA=OB，如图1，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵ ，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，
∴AC=6，则BC=6，
∴，
在Rt△APO中，AC⊥OP，
易得△PAC∽△AOC，
∴，即AC2=OC•PC，
∴PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目时能灵活运用．
26、（1）k＜（1）1
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
（1）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：k＜．
（1）∵k为k＜的正整数，
∴k=1或1．
当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；
当k=1时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．
∴k的值为1．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
