二次曲面习题课学习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解析几何习题课,(,二,),Chap.4,二次曲面(quadric surfaces),空间解析几何的两个基本问题：,一、给定曲面，建立方程；,二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。,1、柱面(,cylinder,),定义,：一直线,L,沿一已知曲线,C,平行移动而得的曲面称为,柱面,。,C,准,线(,directrix,),，,L,母线(,ruling,),直柱面：,射影柱面,依次消去一个变元,射影柱面,柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）,圆锥面,直线,l,1,绕另一条与,l,1,相交于,O,的直线,l,2,旋转一周,所得旋转曲面称为,圆锥面.,O,顶点(vertex),两直线的夹角,半顶角,锥面,一直线通过定点,O,，且沿空间中一条定曲线,C,移动所产生的曲面称为,锥面,.,O,顶点,C,准线（,不唯一,）,动直线,母线（,不唯一,）,2、锥 面(conical surface),锥面的参数方程（P152 ex6）,3、旋转曲面(surface of revolution),定义,：曲线,C,绕定直线,l,旋转一周所生成的曲面称为,旋转,曲面,。,l,旋转轴，,C,母线,旋转曲面的参数方程（P158 ex3）,4、椭 球 面 (ellipsoid),（1）椭球面的方程,（2）椭球面的性质,（,1,）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,（,2,）,并有六个顶点,（3）形状（与三个坐标面的交线）：,是一个椭圆,(ellipse),(2)是一个椭圆,(3)是一个椭圆,（4）,椭球面的参数方程,（广义球坐标系）,5、双曲面(hyperboloid),I 单叶双曲面(hyperboloid of one sheet),方程：,性质：,（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,（2）有四个顶点,（3）形状：,（1）是一个椭圆,（,腰椭圆,）,（,2,）是双曲线,(hyperbola),（,3,）是双曲线,（,4,）是一个椭圆,=,+,=,+,h,z,c,h,b,y,a,x,2,2,2,2,2,2,1,II双叶双曲面,(hyperboloid of two sheets),方程：,性质：,（,1,）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,（,2,）有两个顶点,（,3,）形状：,（,6,）是双曲线,（,7,）是双曲线,参数方程 (P168 ex.7),(1)单叶双曲面,(2)双叶双曲面,6、抛 物 面(paraboloid),I椭圆抛物面(elliptic paraboloid),方程,：,性质,：,（1）椭圆抛物面对称于,XOZ,与,YOZ,坐标面，,对称于,z,轴，无对称中心。,（,2,）,与对称轴交于原点（0，0，0），,叫做椭圆抛物面的顶点。,（,3,）,形状：,（,1,）,是抛物线,(parabola),（,2,）,是抛物线,主抛物线,（,3,）,是一个椭圆,容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。,=,=,+,h,z,h,b,y,h,a,x,2,2,2,2,1,2,2,（,4,）,是抛物线,=,-,=,t,y,b,t,z,a,x,),2,(,2,2,2,2,2,II双曲抛物面(hyperbolic paraboloid),方程,：,性质,：,（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，,对称于z轴，无对称中心。,（,2,）,形状：,（,5,）,是一对相交于原点的直线,（,6,）,是抛物线,（,7,）,是抛物线,主抛物线,（,8,）,是双曲线(hyperbola),=,=,-,h,z,h,b,y,h,a,x,2,2,2,2,1,2,2,（9）,是抛物线,、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,定义,：由一族直线生成的曲面称为,直纹面(ruled surface),这族直线称为曲面的,一族直母线,。,、单叶双曲面,u,族直母线,v,族直母线,对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条,直母线经过该点,、双曲抛物面,对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中,各有一条直母线经过该点,直母线：,定理,单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。,定理,单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线,总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直,母线平行于同一平面。,例 题,例,1.,研究方程,解:,配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面,.,表示,怎样,半径为,的球面.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,例 2.,试建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例,3.,求坐标面,xoz,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,.,解:,绕,x,轴旋转,绕,z,轴旋转,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,例,4,、求准线是 ，母线方向为,的柱面方程。,解：,准线可改写为,所求柱面方程为,消去参数,u,v,得,例,5,、求半径为,2,，对称轴为 的圆柱面方程。,解：,在所求圆柱面上任取一点 ，,由,得,例,6,、求准线是 ，顶点为原点的锥面方程。,解：,准线方程为,所求锥面方程为,消去参数,u,v,得,例7、由椭球面 的中心，引三条两两,互相垂直的射线，分别交曲面于 ，设,，试证：,（课本P162,ex4）,解：,设 的单位向量分别为,P,1,的坐标为 ，代入椭球面方程，得,同理可得,由于 两两垂直，知 是正交的矩阵，,于是有,所以,例,8,、试求单叶双曲面 上互相垂直的两,直母线交点的轨迹方程。,（课本P182,ex8）,解：,过单叶双曲面上所求轨迹上一点,的两条直母线分别为,L,1,和,L,2,当 时，,当 时，,L,1,和,L,2,的方向向量分别为,当 时，,当 时，,由 垂直，得,分别在 和 的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为,例9.,将下列曲线化为参数方程表示:,解:,(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,绕,z,轴旋转所得旋转曲面方程为,消去,t,和,得,旋转曲面方程为,例10.,求空间曲线,:,例11.,直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程.,解:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,例12 求,在,xoy,面上的投影曲线方程。,例13,求,所围的立体在,xoy,面上的投影区域。,上半球面,和锥面,在,xoy,面上的,投影曲线,二者交线,所围圆域,:,例14,求曲线,绕,z,轴旋转的曲面与平面,的交线在,xoy,平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,面的投影柱面方程为,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,作 图 练 习,(2),(1),1、画图:,(3),(4),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,(5),例2、画出下列各曲面所围图形:,1,.,解,y,x,z,o,得,交线,L,：,由,z,=0,.,1,y,x,z,o,解,L,得,交线,L,：,.,投影柱面,由,2,a,a,x,z,y,0,作图练习,z,=0,y,=,0,x,=0,a,a,x,z,y,0,作图练习,.,a,a,x,z,y,0,学画草图,.,a,作图练习,