2011江苏盐城中考数学解析(李建华).doc

绝密★启用前
盐城市二○一一年高中阶段教育招生统一考试
数 学 试 题

注意事项：
　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． （2011江苏盐城，1，3分）-2的绝对值是
A．-2 B． C．2 D．
【答案】C
【思路分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值等于它的相反数，故选C．
【方法规律】抓住绝对值、相反数、倒数之间的联系与区别．
【易错点分析】把相反数写成倒数.
【关键词】绝对值
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题
2．（2011江苏盐城，2，3分）下列运算正确的是
A．x2+ x3 = x5 B．x4·x2 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．( x2 )3 = x8
【答案】B
【思路分析】A项错误，不是同类项不能合并；B项正确；C项错误，同底数幂相除，底数不变，指数相除；D项错误，幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【方法规律】考查整式的运算和幂的运算性质．
【易错点分析】不理解幂的运算性质，错误的认为幂的加法，底数不变，指数相加，选A；或同底数幂相除，底数不变，指数相除，选C；或幂的乘方，底数不变，指数相乘，选D．
【关键词】幂的运算法则
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题．
3．（2011江苏盐城，3，3分）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是
A B C D

【答案】D
【思路分析】俯视图是指从上面看物体，得到的图形，显然只有选项D．
【方法规律】考查判断简单几何体的俯视图，抓住看的方向是“由上往下”.
【易错点分析】搞不清俯视图的概念，错将三棱锥是四面体而选B.
【关键词】俯视图
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题．
4．（2011江苏盐城，4，3分）已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是
A．-1 B．1 C．-5 D．5
【答案】A
【思路分析】本题中不知道a、b的值，而求代数式的值，考虑2a -2b -3如何用a – b来表示；也可以先用a的代数式表示 b，或用b代数式表示a，再代人消元求代数式的值．
【方法规律】本题考查的内容是求代数式的值，方法可以把条件变形后直接代人化简，也可以把所求式子适当变形后用整体代人法求解，考查代人法，并体现整体思想．
【易错点分析】可能部分学生猜到2a -2b=2（a–b）=2，但计算2-3而出错，选成B、C、D．
【关键词】代数式的值 整体代入
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】好题
5．（2011江苏盐城，5，3分）若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【思路分析】因为6-4< O1O2<6+4，所以两圆相交，选B．
【方法规律】两圆的位置关系取决于圆心距与两圆的半径的大小关系，设两圆的半径为R、r，圆心距为d，当d>R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当R-r<d<R+r时，两圆相交；当d=R-r时，两圆内切；当d<R-r时，两圆内含．
【易错点分析】只看到O1O2>6-4，两圆不相切，而认为两圆外离，选D.
【关键词】两圆的位置关系 圆心距
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，易错题．
6．（2011江苏盐城，6，3分）对于反比例函数y =，下列说法正确的是
A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【思路分析】当x=1时，y=1，故A项错误；k=1>0，图象位于第一、三象限，故B项错误；图象在每一象限内，y随x的增大而减小，故D项错误；反比例函数的图象是双曲线，关于原点对称，是中心对称图形，故选C．
【方法规律】抓住反比例函数的图象和性质，以及图象的对称性．
【易错点分析】不理解图象和性质，认为“当x>0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大”而错选D.
【关键词】反比例函数 中心对称图形
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题，易错题．
7．（2011江苏盐城，7，3分）某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是
A．平均数为30 B．众数为29 C．中位数为31 D．极差为5
【答案】B
【思路分析】平均数为，故A项错误；中位数为29，故C项错误；极差为32-28=4，故D项错误；5个数据中有2个29，其它3个数据不相同，故众数为29，应选B．
【方法规律】注意平均数、众数、中位数和极差的概念的理解．
【易错点分析】计算中位数时不大小排列，而选中间的31，错选C.
【关键词】平均数 众数 中位数 极差
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，好题，易错题．
8．（2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是
（第8题图）

A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min
D．公交车的速度是350m/min
【答案】D
【思路分析】从图象中可以看出，从家到公交车站台1km，步行10分钟；等公交车的时间6分钟，从站台去学校用了14分钟，又行了7km，故公交车的速度是500m/min，应选D．
【方法规律】注意从图象中读取信息，抓住不同时间的行程是解题的关键．
【易错点分析】一是审题不清，未注意选择错误的；二是错把等公交车的时间计在公交车的行驶时间内，而用7000÷14=500（m/min），而不选D．
【关键词】函数的图象
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，好题，易错题，阅读题．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ．
【答案】3
【思路分析】因为3的立方是27，所以27的立方根为3．
【方法规律】抓住立方与开立方互为逆运算，求一个数的立方根就是找立方等于这个数的数是多少．
【易错点分析】将立方根与平方根的概念混淆，而写成±3.
【关键词】立方根
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题，易错题
10．（2011江苏盐城，10，3分）某服装原价为a元，降价10%后的价格为 ▲ 元．
【答案】0.9a
【思路分析】降价10%，即降了10%a元，则降价后的价格为a－10%a=90%a（元）．
【方法规律】降价后的价格=原价－下降的价格；或降价10%，即为原来的90%．
【易错点分析】降价10%后的价格，答成原价的10%，写成10%a.
【关键词】列代数式
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题
11．（2011江苏盐城，11，3分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 ▲ 事件（选填“随机”或“必然”）．
【答案】随机
【思路分析】在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件，而任意打开一本200页的数学书，结果可能有很多种，因此该事件是随机事件.
【方法规律】抓住实验结果是否是确定的，是区分事件类型的关键．
【易错点分析】对概念不清，以为打开课本，已经是35页而写成必然事件．
【关键词】随机事件 必然事件 不可能事件
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题．
12．（2011江苏盐城，12，3分）据报道，今年全国高考计划招生675万人．675万这个数用科学记数法可表示为 ▲ ．
【答案】6.75×106
【思路分析】因为675=6.75×102，而1万=104，所以675万=6.75×106．
【方法规律】科学记数法是把一个大于0的数记成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数），这里关键要把“万”化掉.
【易错点分析】将675万=6.75×102万，实质是用科学记数法表示的是675，而不是675万.
【关键词】科学记数法
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，好题．
13．（2011江苏盐城，13，3分）化简： = ▲ ．
【答案】x+3
【思路分析】因为x2－9=（x+3）（x-3），分子、分母有公因式x-3，所以约分后的结果为x+3．
【方法规律】约分的关键是找分子、分母的公因式，而如果分子、分母是多项式，要先分解因式．
【易错点分析】不理解分式的基本性质，写成.
【关键词】分式化简 约分
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，好题．
14．（2011江苏盐城，14，3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为(-1，4). 将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是 ▲ .
（第14题图）

【答案】（3，1）
【思路分析】根据点A的坐标为(-1，4)，得到点C的坐标为（－3,1），从而点C的对应点C′的坐标是（3，1）．
【方法规律】沿y轴翻折，求点C的对应点C′的坐标，实质上就是求点C关于y轴的对称点的坐标．
【易错点分析】审题不清，错把点C的对应点C′的坐标，误认为点A的对应点A′的坐标，写成（1,4）.
【关键词】点的坐标 翻折 关于y轴对称
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】新题，好题，操作题．
15．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是 ▲ ．

【答案】等腰梯形
【思路分析】因为AD∥BC，显然四边形ABCD是梯形，又∠ABC=∠DCB=60°，根据“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”，所以四边形ABCD是等腰梯形．
【方法规律】以三角板的不同摆放方式，通过动手操作，揭示题中隐含条件，从而作出判断．
【易错点分析】只由AD∥BC，得出四边形ABCD是梯形．
【关键词】三角板 等腰梯形
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】好题，操作题．
16．（2011江苏盐城，16，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为 ▲ ．

【答案】10
【思路分析】由“等腰三角形三线合一”得，D是BC的中点，从而得出DE是中位线，即DE=AB；或根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出AC，进而得到AB．
【方法规律】遇到中点问题，联系“三角形中位线”或“直角三角形斜边上的中线”的性质．
【易错点分析】猜想△ABC为等边三角形，但无法求BC．
【关键词】等腰三角形 中位线 直角三角形斜边上的中线
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题．
17．（2011江苏盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为 ▲ cm．

【答案】π（也可写成6.5π）
【思路分析】点E所经过的路径是一段圆弧，显然圆心角为旋转角90°，关键是求半径，根据勾股定理，得AE===13，再根据弧长公式，得（cm）．
【方法规律】以正方形为背景，考查图形旋转的性质以及弧长公式的运用．
【易错点分析】将点E所经过的路径误以为是线段EF．
【关键词】正方形 旋转 弧长
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】好题，易错题，操作题．
18．（2011江苏盐城，18，3分）将1、、、按下列方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ▲ ．

【答案】2
【思路分析】通过观察发现，1、、、按从上向下，从上向下，从左向右循环排列，（5，4）表示第5排第4个数，而（15，7）应为第15排第7个数，应为（1+2+3+…+14）+7=112个数，是4的倍数，这个数为，所求两数之积为．
【方法规律】通过观察、对比、分析，理解（m，n）的含义，并归纳与概括出数的排列规律．
【易错点分析】一是未能发现1、、、的循环排列的规律，二是不会求（15，7）所表示的数．
【关键词】二次根式 规律探索 新定义
【推荐指数】★★★★☆
【题型】新题，好题，难题，阅读题．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19．（1）（2011江苏盐城，19（1），4分）计算：( )0 - ( )-2 + tan45°；
【答案】原式=1-4+1=-2.
【思路分析】本题只要先算出=1，=4，=1的值，再运用有理数的加减运算法则计算．
【方法规律】本题是一道非常简单的基础题，重点考察同学们的基本的计算能力，只要仔细计算即可解决问题．
【易错点分析】计算时要注意、与的值的确定，尤其是易错成=0，=，=等．
【关键词】零次幂 负整数指数幂 45°角的正切值
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题，好题．
（2）（2011江苏盐城，19（2），4分）解方程：．
【答案】去分母，得 x+3=2(x-1) . 解之，得x=5. 经检验，x=5是原方程的解.
【思路分析】分式方程去分母后将其转化为整式方程，最后不要忘记验根．
【方法规律】解分式方程的关键是转化为整式方程，同时注意验根．
【易错点分析】一般题目比较简单，但是解后一定要注意验根，这是学生易于忽视的地方，也是考试的热点问题．
【关键词】分式方程
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题．
20．（2011江苏盐城，20，8分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解不等式，得x＜1； 解不等式2(1-x)≤5，得x≥；
∴原不等式组的解集是≤x＜1.
解集在数轴上表示为

【思路分析】分别解两个不等式，再求不等式组的解集，并在数轴上表示出每个不等式的解集．
【方法规律】解不等式组就是求不等式组中各个不等式解集的公共部分．
【易错点分析】解第1个不等式，去分母时，不等号右边漏乘3；解第2个不等式，系数是负数，化为1时，不注意改变不等号的方向．
【关键词】解不等式组 不等式组的解集
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题．
21．（2011江苏盐城，21，8分）小明有３支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有2块橡皮，分别为白色、灰色．小明从中任意取出1支水笔和1块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．
【答案】解法一：画树状图：
开始
红
蓝
黑
结果
白
灰
橡皮
水笔
白
灰
白
灰
(红,白)
(红,灰)
(蓝,白)
(蓝,灰)
(黑,白)
(黑,灰)

P（红色水笔和白色橡皮配套）= .
解法二：用列表法：
橡皮
结果
水笔

白
灰
红
(红,白)
(红,灰)
蓝
(蓝,白)
(蓝,灰)
黑
(黑,白)
(黑,灰)
P（红色水笔和白色橡皮配套）= .
【思路分析】列出表格，把可能出现的所有结果填进表格来分析，是解本题的关键；画出树状图来分析可以起到相同的效果．
【方法规律】解决概率问题常用的方法有简单枚举法、列表法和树状图法，本题只需把各种结果正确表示出来，经过简单的计算即可求解．
【易错点分析】个别学生可能不会画树状图和列表，关键找不到依据.
【关键词】概率 树状图 列表法
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题．
22．（2011江苏盐城，22，8分）为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种．现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如下两幅不完整的统计图．
作品成绩扇形统计图
作品份数条形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；
（2）已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？
【答案】（1）∵24÷20%=120（份），∴本次抽取了120份作品.
补全两幅统计图

（2）∵900×（30%＋10%）=360（份）；
∴估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有360份.
【思路分析】（1）为了求数据总数，必须知道各个项目的具体数目和百分比．由条形统计图和扇形统计图可以得到数据总数＝（或），进而补全表格；（2）根据总作品数和90分以上（含90分）的百分比，利用样本估计总体的思想容易解决问题.
【方法规律】统计图表是中考的必考内容，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，数据的问题在中考试卷中也有越来越综合的趋势．
【易错点分析】第（2）问，求90分以上（含90分）的作品有多少份，漏掉90分的作品份数.
【关键词】条形统计图 扇形统计图 样本估计总体
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题．
23．（2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数.
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

【答案】（1）画图(如图)；

（2）当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；
（3）平移后图象所对应的函数关系式为y=(x-2）2+2（或写成y=x2+2x）.
【思路分析】（1）先求出抛物线的对称轴x=－1和顶点坐标（－1,2），再利用对称性列表，画出函数的图象．（2）要求函数与x轴的交点坐标，只要把y＝0代入关系式，然后，通过看函数图象，直接写出函数值小于0时，x的取值范围．（3）根据图像平移规律，直接写出平移后的函数关系式.
【方法规律】本题考查了二次函数的图象画法，平移规律，求图象与坐标轴的交点坐标，以及学会看函数图象．
【易错点分析】对二次函数的对称性理解不够，不会列表或所列的表不对称.
【关键词】二次函数 平移
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题．
24．（2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

【答案】过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.

在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15.
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× = 20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.
【思路分析】过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.得到两个直角三角形；这两个直角三角形都是知道斜边和一锐角，求一直角边（对边）；依据锐角的正弦可求．
【方法规律】解直角三角形是中考热点之一，经常考查解直角三角形在实际生活中的应用．对此类问题，一般是将实际问题转化成几何问题，解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角形，哪条边是角的对边、邻边、斜边．当然本题还可以运用直角三角形的特殊角的边角关系来解．
【易错点分析】一是不会画垂线构造直角三角形，二是求灯罩顶端C到桌面的高度CE时少加底座厚度为2cm和结果没有取近似值.
【关键词】解直角三角形
【推荐指数】★★★★☆
【题型】常规题，新题，好题．
25．（2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.
∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.
∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.
∴，即. 解得r =，
∴⊙O的半径为.
(2)四边形OFDE是菱形.
∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.
∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.
∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°.
∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形.
∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.
∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.

【思路分析】（1）根据切线的性质，得到OD⊥BC.进而由△OBD∽△ABC. 得，列出关于r的方程求解；（2）根据四边形BDEF是平行四边形，可得∠DEF=∠B.再由∠DEF=∠DOB，得出直角三角形中两锐角的关系，求得∠DOB=60°.从而说明四边形OFDE是菱形.
【方法规律】解决圆的问题时，对“圆的切线垂直与过切点的半径”和“一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这两个性质要特别予以关注，往往是解题的突破口．
【易错点分析】解决第（2）问，往往不能运用∠DEF=∠DOB而陷入说理不清，甚至求不出∠DOB=60°.
【关键词】圆 切线 相似三角形 四边形
【推荐指数】★★★★★
【题型】好题，难题，易错题．
26．（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；
信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，
乙商品零售单价比进货单价的2倍少
1元．

信息3：按零售单价购买
甲商品3件和乙商品2件，
共付了19元.

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
根据题意，得 解得
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×)
即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.
答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
【思路分析】（1）题中3条信息，给出两个相等关系：①甲商品的进货单价＋乙商品的进货单价=5元，②3件甲商品的售价＋2件乙商品的售价=19元，可以列出二元一次方程组；（2）抓住两个关系：利润=售价－进价，售出数量=原销售数量+100×，列出函数关系式，再利用二次函数的性质，求出最大利润.
【方法规律】以商品销售为背景的问题，抓住进价、售价、利润之间的关系，以及商品促销时销售的数量和售价之间的关系，通过方程、函数、不等式加以解决，在解决问题的过程中，利用函数的性质，作出抉择．
【易错点分析】第（2）问，找不出售出数量、原销售数量、降低的价格之间的关系，从而不能列出商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润与m的关系式，不能作出判断.
【关键词】二元一次方程组 二次函数 商品销售 利润
【推荐指数】★★★★★
【题型】好题，阅读题．
27．（2011江苏盐城，27，12分）
情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
图1 图2

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
图3

拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
图4

【答案】情境观察
AD（或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ.
拓展延伸
结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，过点F作FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴.
同理△ACG∽△FAQ，∴.
∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = k，∴. ∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.
【思路分析】情境观察通过操作活动，揭示基本图形，发现△A′C′D≌△CAB，得出与BC相等的线段是AD（或A′D），∠CAC′=90°．问题探究的关键是发现直线AG两侧各有一个基本图形，从而得到AG=EP，AG=FQ. 进而有EP=FQ. 拓展延伸体现在两个方面，一方面要通过过点E、F分别作GA的垂线，构造出问题探究的基本图形，另一方面图形全等变成了相似，仍究得到EP=FQ，再根据Rt△EPH≌Rt△FQH，得到HE=HF.
【方法规律】本题情境观察以图形变换为背景，构造出一个基本图形，问题探究、拓展延伸体现了从特殊到一般的数学思想，学生经历问题的解决过程，根据特殊图形提出猜想，再对结论进行一般性的证明．
【易错点分析】拓展延伸部分无从下手，不知道过点E、F分别作GA的垂线，构造出问题探究的基本图形，也想不到图形全等变成了相似，仍究得到EP=FQ.
【关键词】图形的全等 图形的相似 图形的变化
【推荐指数】★★★★★
【题型】新题，好题，操作题，压轴题．
28．（2011江苏盐城，28，12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
（备用图）

【答案】（1）根据题意，得，解得，∴A(3，4) .
令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.

由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍）
当P在CA上运动，4≤t＜7.

由S△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍）
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时，0≤t＜4.

∴AP=，AQ=t，PQ=7-t
当AP =AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,
整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,
整理得，6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2
整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
由cos∠OAC=，得AQ = (t-4)．
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=AP
得t-4=(7-t)，解得t =5.
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F
AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝，得AF＝AP
即×(t-4)= ×(7-t)，解得t=.
∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.
【思路分析】第（1）问由求出交点A(3，4)，显然点B（7，0）.第（2）问的①分两种情况：当P在OC上运动时，S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8；当P在CA上运动时，S△APR= ×(7-t) ×4=8，分别求出t的值；②也分两种情况：当P在OC上运动和当P在CA上运动，而每种情况又分：AP=AQ，AQ=PQ，AP=PQ分别列出关于t的关系式．
【方法规律】动态几何问题，要关注运动的时间、路程和速度，以及点、直线的位置，得到相应的图形，再根据图形的性质，找出相应的关系式，从而解决问题.
【易错点分析】在第（2）题的第②问，△APQ是等腰三角形，分为AP=AQ，AQ=PQ，AP=PQ三种情况，当P在CA上运动时，未作底边上的高，用勾股定理列出方程而陷入复杂的运算.
【关键词】一次函数 等腰三角形 图形的运动
【推荐指数】★★★★★
【题型】新题，好题，难题，压轴题．

数学试题 第20页（共20页）