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一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题
湖南省浏阳第一中学 叶运平 410300
中心词：过原点两直线、齐次式 高考 定点
y
x
O
A
B
高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20﹑江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估计您从未见识过）。
一、引理：过原点两直线与二次曲线
一条直线与一个二次曲线交于两点A﹑B,如图；
设直线AB方程为 ①
曲线方程为=0 ②
（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有项，即）
将①化为, ②化为 ③
将代入③（目的使将③中所有项化为二次齐次式）得：
　　④
显然④是一个二次齐次式，且一定可化为　　
即： ⑤
。
⑤中的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为 。
由韦达定理知

从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。
下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。
二、应用举例
例1.抛物线,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过轴上一定点。
分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。
解：设AB：( 显然AB不能横着） ①
抛物线： ②
①化为代入②（目的化为二次齐次式）得
即 ③
③可化为
其中
又（因OA与OB垂直）
， AB恒过点（2p ．0)
说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！
下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。
例2。点p(，)是抛物线上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。
分析：注意到PAPB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。
解：平移坐标系，使P 为原点，则

点P
点O
抛物线
旧坐标系

新坐标系

在新坐标系下，设AB: ①
抛物线可化为 ②
（注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）
把①化为代入②得
可化为
其中，。

。AB：，即
直线 AB在新坐标系过点在原坐标系过点。
说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：
设直线AB：代入抛物线方程得：
整理得：，设A、B两点坐标分别为，则
，
又
③
整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）
AB：
小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2 旧P，新P，所以移轴公式为 其中为新坐标，与之对应的为同一点的旧坐标，所以O新坐标为。抛物线 即
直线AB在新系下过点，则在旧系下过点。
下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。
三、解析高考
例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.
解析:(1)略：椭圆的方程为. (2)：平移坐标系，使点P为原点,则

点P
点O
直线
椭圆
点F
旧坐标系

X=4

新坐标系

X=3

设在新系下，AB： （显然直线AB不可能竖着），可化为 ①
椭圆方程可化为：　②
把①代入②，化为齐次式:
上式可化为： 即
又直线AB过点F,
注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！
其中，
.易求
故，故存在常数 使得恒成立。
例4。（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
(Ⅰ)略，(Ⅱ)分析：轴为平分线.故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。
解析：平移坐标系，使点B为原点，则

点B
点O
抛物线
旧坐标系

新坐标系

在新坐标系下，设PQ；（显然AB不能横着，故设成这种形式）
可化为： 代入 （目的是化为齐次式）

可化为:
其中A=,
轴为平分线，即B=0
从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。
说明：此种解法还得出，直线l

例5。（2012高考真题重庆理20） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形.
求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程
解析：（Ⅰ）离心率为，椭圆的标准方程为
（Ⅱ）平移坐标系使点为原点，则

点
点0
点
椭圆

旧坐标系

（2，0）

（0，0）

（-2，0）

新坐标系

（0，0）

（-2，0）

（-4，0）

设直线PQ方程为 可化为了 ①
椭圆方程可化为 ②
把①代入到②得：
上式可化为 其中
又PQ直线过点，故
,,
, 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为

总结：⑴　设直线AB方程为或，即使AB过定点也是如此，这样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例3、例5。⑵　移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5，说明横坐标都减少2个单位，纵坐标不变。故移轴公式为：（移轴公式在选修4-4即《坐标系与参数方程》有要求）。⑶　最好列表体现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。⑷　过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。

参考资料：《数学那玩意》 韩旭
（叶运平 湖南省浏阳第一中学数学组 410300 手机[phone] 414582782@ 中学高级数学教师 研究方向：高考和自主招生解题研究）