专题一：数与式.doc

专题一：数与式一、 概念与运算 典型例题例1、计算: 例2、（2006年内江市）对于题目“化简求值：+，其中a=”例3、已知x+5y=6，则x2+5xy+30y=_例4、（2011内江）若m=，则m52m42011m3的值是 例5、（浙江省绍兴市）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P(a，b)和Q(c，d)，则a(c-d)-b(c-d)的值为_例6、小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a8），就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍上，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其它因素）。 自主练习1、把式子x2-y2-x-y分解因式的结果是_2、计算：（1）20002-20011999= _ （2）9992=_3、（2011天水）计算：sin230+tan44tan46+sin260=_4、若m2x2-2x+n2是一个完全平方式，则mn的值为（ ）A1 B2 C1 D25、已知+的值为正整数，则整数x的值为（ ） A4 B5 C4或5 D无限个6、(台北)若a：b：c2：3：7，且ab3c2b，则c= 7、（2011台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（ab）求图中一楼地面与二楼地面的距离为 公尺。8、（2006年烟台市）若x+=5，则-=_9、在正式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是 。10、 已知实数a，b，c满足a2b21，b2c22，c2a22，则abbcca的最小值为 ( ) （A） (B) (C) (D) 11、如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )A B C D12、若a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2-b2+（cd）-1（1-2m+m2）的值13、（2006年长沙市）先化简，再求值: 若a=4+，b=4-，求14、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆这时小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，请你用所学的知识确定中间牌的张数15、已知a=，求的值16、（2011台湾）若多项式2x310x2+20x除以ax+b，得商式为x2+10，余式为100，则之值为何？（）A、0B、5 C、10D、1517、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图91的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图92的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm左右左右第二次折叠第一次折叠18、（2006年怀化市）已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005求2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac的值19、（2006年长沙市）先化简再求值：，其中a满足a2-a-3=020、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠O，并使较长边与O相勤勤恳恳于点C，假设角尺的较长边足够多，角尺的顶点为B，较ACBO(第15题)短边AB=8cm，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为_21、已知，则的值为 22、已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则 。23、若，则= 24、已知是方程的一个根，则的值为（ ）ABC1D125、已知x，y为实数，且满足=0，那么x2011-y2011= 二、 探寻规律 典型例题1条 2条 3条1例1、如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，则搭条“金鱼”需要火柴根 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形例2、观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形共有 120个例3、（2008常德）观察下列各式： 猜想：_例4、（2011威海）如图，在直线l1x轴于点（1，0），直线l2x轴于点（2，0），直线l3x轴于点（3，0）直线lnx轴于点（n，0）函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，ln分别交于点A1，A2，A3，An，函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，ln分别交于点B1，B2，B3，Bn如果OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，四边形An1AnBnBn1的面积记作Sn，那么S2011= 例5、如图（1）,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明：(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明：(3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明) 自主练习1、 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）（A）第502个正方形的左下角（B）第502个正方形的右下角（C）第503个正方形的左上角（D）第503个正方形的右下角2、如图所示，直线OP经过点P（4，），过x轴上的点1、3、5、7、9、11分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、，则关于n的函数关系式是_3、阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，(这就是著名的斐波那契数列)请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法4、（2008张家界）观察一列有规律的数：4，8，16，32，它的第2 007个数是_5、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去例如蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂1号；蜜蜂0号1号，共有2种不同的爬法问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法（ ）A7 B8 C9 D106、（2011内江）在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、AnBnCnCn1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、Cn均在x轴上若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 7、（重庆市）.按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 .8、我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，（1）根据对上述式子的观察，你会发现. 请写出，所表示的数；（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数），请写出，所表示的式，并加以验证.9、（2011台湾）小明在一本有一千页的书中，从第1页开始，逐页依顺序在第1页写1，第2页写2、3，第3页写3、4、5，依此规则，即第n页从n开始，写n个连续正整数求他第一次写出数字1000是在第几页？（）A、500 B、501 C、999D、100010、（2011雅安）在一列数a1，a2，a3中，a2a1=a3a2=a4a3=，则a19= （用a1的代数式表示）11、如图，已知ABC的面积SABC=1.在图（1）中，若, 则;在图（2）中，若, 则;在图（3）中，若, 则;按此规律，若, 则 B（1）ACA1B1C1ABCA2B2C2（2）A3ABCB3C3（3）(第17题)12、请你认真观察和分析图中数字的变化规律，由此得到图中所缺的数字是（）A32B29C25D2313、如图11，直线yk和双曲线相交于点P，过P点作PA0垂直x轴，垂足为A0，x轴上的点A0、A1、A2、A n 的横坐标是连续的整数，过点A1、A2、A n分别作x轴的垂线，与双曲线（x0）及直线yk分别交于点B1、B2、B n ，C1、C2、C n 。PC1C2CnOB1B2BnAnA1A2A0xy图11（1）求A0点坐标；（2）求及的值；（3）试猜想的值（直接写答案）14、ABC是一张等腰直角三角形纸板，C=Rt，AC=BC=2，(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由。(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为，继续操作下去，则第10次剪取时，；乙ABCDEFABCMNPQ(第23题)图1甲ABCDEFABCDE图2图3(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。15、（2011金华）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c（a0）过矩形顶点B、C（1）当n=1时，如果a=1，试求b的值；（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O试求当n=3时a的值；直接写出a关于n的关系式16、（2011福建）如图，直线l上有2个圆点A，B我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）个圆点；第n次操作后，这时直线l上有_个圆点17、将长为1的绳子，截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若余下的绳子长不足1，则至少需截几次（ ）A6次 B7次 C8次 D9次18、（2006年常德市）右边是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数），表示数表中第n行第n列的数：_（第12题图）ABCDEFK1K2K3K4K5K6K719、（11佛山）如图物体从点A出发，按照AB（第1步）C（第2）DAEFGAB的顺序循环运动，则第2011步到达点 处；20、 （2011山东烟台）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，.当AB1时，l2 011等于 21、（2011山东烟台）通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.三、 新知学习1.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号) 1!=1，2!=21，3!=321，4!=4321，计算：= 2、对于整数a，b,c，d，符号表示运算acbd，已知13，则b+d的值是 3、现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为常数，则2*3+1*4等于（ ） A10 B6 C14 D124、用“”定义新运算： 对于任意实数a、b， 都有ab=b21。 例如74=421=17，那么53= ；当m为实数时，m(m2)= 。5、 已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则=_。6、（2011台州）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点请写出一个和谐点的坐标： (山东省日照市)7、在RtABC中，C=90，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=则下列关系式中不成立的是（ ） （A）tanAcotA=1 （B）sinA=tanAcosA （C）cosA=cotAsinA （D）tan2A+cot2A=18、如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足。( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。