第十五讲平面向量的数量积.doc

第十五讲　平面向量的数量积
基础梳理
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
3．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．

一个条件
两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
两个探究
(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？
(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？
三个防范
(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.
双基自测
1．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是 ．
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c)

3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ．

4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于 ．

5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

考向一　求两平面向量的数量积
【例1】►在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.

当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．
【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.

考向二　利用平面向量数量积求夹角与模
【例2】►已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.

在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式．
【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

考向三　平面向量的数量积与垂直问题
【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.

已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．
【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．

考向四 解决平面向量与解三角形的综合问题
【例4】►△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．

三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．
【试一试】 已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，设与的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos2θ的最小值．

基础检测
1．若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．
2．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝________.
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．
4．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝________.
5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．

7．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

8．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.
(1)求|a|2＋|b|2的值；
(2)若a⊥b，求θ；
(3)若θ＝，求证：a∥b.

9．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．

第15讲　平面向量的数量积

【2015年高考会这样考】
1．考查平面向量数量积的运算．
2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．
3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．
【复习指导】
本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．

基础梳理
1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
3．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．

一个条件
两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
两个探究
(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？
(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？
三个防范
(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.
2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　)．
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c)
3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)．
解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(　　)．
解析　a－b＝(1－x,4)．
由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.
∴x＝9.
5．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
解析　由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，
得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝.

考向一　求两平面向量的数量积
【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
[审题视点] 由M是BC的中点，得＋＝2.
解析　如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，||＝1，所以·(＋)

＝·2＝－4||2＝－||2＝－，故填－.
答案　－
当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．
【训练1】 如图，

在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.
解析　＝＋，故·＝·(＋)＝·＋·.而＝－，⊥.所以·＝－CA2＝－8.
答案　－8
考向二　利用平面向量数量积求夹角与模
【例2】►已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a·b的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．
解　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝.
在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式．
【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解　设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|得|a|2＝|b|2.
又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.∴a·b＝|a|2，而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.∴cos θ＝＝＝.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.
考向三　平面向量的数量积与垂直问题
【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
[审题视点] 利用a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0及a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，求解．
解　(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，
∴|a－b|＝＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
综上，可知|a－b|＝2或2.
已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．
【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．
解　由于A，B，C三点在同一条直线上，
则∥，＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，
即mn＋n－5m＋9＝0，①
又∵⊥，
∴－2n＋m＝0.②
联立①②，解得或　　
规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题
【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．
【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．
【示例】► (本题满分12分)(2010·安徽)△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
先求sin A，再利用面积公式求bc，最后利用数量积及余弦定理可解决．
[解答示范] 由cos A＝，得sin A＝ ＝.(2分)
又bcsin A＝30，
∴bc＝156.(4分)
(1)·＝bccos A＝156×＝144(8分)
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)
＝1＋2×156×＝25，又a＞0(10分)
∴a＝5.(12分)
三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．
【试一试】 已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，设与的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos2θ的最小值．
[尝试解答]　(1)∵·＝6，∴||·||·cos θ＝6.∴||·||＝.
又∵S＝||·||·sin(π－θ)＝3tan θ，
∴≤3tan θ≤3，即≤tan θ≤1.
又∵θ∈(0，π)，∴≤θ≤.
(2)f(θ)＝1＋2cos2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2
＝sin＋2，
由θ∈，得2θ∈，∴2θ＋∈.
∴当2θ＋＝π即θ＝时，f(θ)min＝3.　　

基础检测
1．若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．
2．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝________.
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是________．
4．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝________.
5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
7．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
8．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.
(1)求|a|2＋|b|2的值；
(2)若a⊥b，求θ；
(3)若θ＝，求证：a∥b.

9．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．

Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足＝2，则·＝________.
2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．
3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.
(1)若C为圆弧的中点，点D在线段OA上运动，求|＋|的最小值；
(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求·的取值范围．

答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，
从而5－6e1·e2－8＝0，
所以e1·e2＝－，故〈e1·e2〉＝.
答案：
2．解析：由条件得|＋|＝|－|，故·＝0，即AC⊥AB，故| |＝2，∠ABC＝60°，
从而原式＝＝.
答案：
3．解析：设P点坐标为(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1.
∴此时点P坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
4．解析：如图，＝＋.
又∵＝2，
∴＝＋＝＋(－)，
即＝＋，
∵∠C＝，∴·＝0，
∴·＝·
＝2＋·＝6.
答案：6
5.解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.
又M，C(1,1)，
所以
＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
答案：
6．解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10.
∴|b|＝3.
答案：3
7．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，
b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.
∴向量＝(－8,8)，
∴||＝8.
答案：8
8．解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1) ·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，
解得λ＝.
答案：
9．解：(1)因为
|a|＝，
|b|＝，
所以|a|2＋|b|2＝2.
(2)因为a⊥b，
所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.
所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，
所以sin 10θ＝0，
所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z.
(3)证明：因为θ＝，所以
cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ
＝cos·sin－cos·sin
＝cos·sin－sin·cos＝0，
所以a∥b.
10．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，
∴cos2A＝.
又∵△ABC为锐角三角形，
∴cos A＝，
∴A＝.
(2)由(1)可得m＝，
n＝.
∴||＝p，| |＝q.
∴S△ABC＝||||sin A＝pq.
又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
∴·≤，
∴·≤3.∴p·q≤9.
∴△ABC面积的最大值为×9＝.
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：法一：由题知，
·＝(＋)·
＝＋·
＝36＋×6×6×cos 120°＝24.
法二：以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，A(0,3)，从而M(－1,2)，所以＝(－4,2)，＝(－6,0)．因此·＝(－4)×(－6)＋2×0＝24.
答案：24
2．解析：记＝b，＝a，则＝a－b，从而＝(a－2b)，＝(b－2a)．因为AG⊥BG，所以(a－2b)(b－2a)＝0，即2b2－5b·a＋2a2＝0，所以cos C＝≥，故当|b|＝|a|时，cos C有最小值，此时sin C有最大值.
答案：
3．解：以O为原点，为x轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．
(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，
又C，
所以＋
＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1(0≤t≤1)，
当t＝时，其最小值为，
即|＋|的最小值为.
(2)设＝(cos α，sin α)，
则＝－
＝－(cos α，sin α)
＝.
又D，E，
所以＝，
故·＝
＝sin＋.
因为≤α＋≤，
所以·∈.

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