高中数学竟赛试题.doc

高中数学竟赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知，则（ C ）A B C D12已知函数的定义域为，则在同一坐标系中函数的图象与直线的交点个数为 （ B ）A0 B1 C2 D0或1均有可能3若函数，则当函数值时，自变量的值是 （ D ）A B4 C或4 D4或4是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 （ C ）A2 B3 C4 D55函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（C ）A B C D6已知实数，满足，设，则、之间的关系为 （ B ）A B C D无法确定7设为正整数，则 （ C ）A B C D以上都有可能8已知为整数集，集合，则= （ D ）A B C D9与圆，圆都相切且半径为的圆有 （ C ）A2个 B3个 C5个 D7个10设为正整数，则的最小值是 （ A ）A2500 B4950 C5050 D5150二、填空题（本大题4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上。）11若方程的两根分别为、，则 。12方程的解为 ， 。13设，且=，则 1 。14已知二次函数满足条件，则的解析式为= 。三、解答题（本大题5个小题，共66分，要求解答有必要的过程）15（本小题满分12分）已知，试求多项式的值。解：由，得两边平方，并整理得。又，所以。16（本小题满分12分）设，试求的最大值。解：，当且仅当即时取等号。所以。17中，中线的长为，的长为，试建立与的函数解析式，并求其定义域。解：依题意有，即，整理得。满足，解得。故（）。18的三边长分别为，过内的点向的三条边、分别作垂线段、，且，求的长度。解：令，则 又三式相加并整理，得 联立解得，所以。19给定两个正整数，若正整数使得存在一个以，和为边长的三角形，我们便称为“三角形好数”。现知恰存在100个三角形好数，试求的最大的可能值。解：不妨设，则 又恰有100个三角形好数，则这些数必为。所以，即，易知时，取最大值，此时。故当时，。