高中数学竟赛试题.doc

高中数学竟赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知，，则（ C ）
A． B． C． D．1
2．已知函数的定义域为，则在同一坐标系中函数的图象与直线的交点个数为 （ B ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1均有可能
3．若函数，则当函数值时，自变量的值是 （ D ）
A． B．4 C．或4 D．4或
4．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 （ C ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（C ）
A． B． C． D．
6．已知实数，满足，设，，则、之间的关系为 （ B ）
A． B． C． D．无法确定
7．设为正整数，，，则 （ C ）
A． B． C． D．以上都有可能
8．已知为整数集，集合，，
，则= （ D ）
A． B． C． D．
9．与圆，圆都相切且半径为的圆有 （ C ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
10．设为正整数，则的最小值是 （ A ）
A．2500 B．4950 C．5050 D．5150
二、填空题（本大题4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上。）
11．若方程的两根分别为、，则 。
12．方程的解为 ， 。
13．设，，且=
，则 1 。
14．已知二次函数满足条件，，则的解析式为= 。
三、解答题（本大题5个小题，共66分，要求解答有必要的过程）
15．（本小题满分12分）
已知，试求多项式的值。
解：由，得
两边平方，并整理得。
又，
所以。
16．（本小题满分12分）
设，，，试求的最大值。
解：，
当且仅当即时取等号。
所以。
17．中，，中线的长为，的长为，试建立与的函数解析式，并求其定义域。
解：依题意有，即，
整理得。
满足，解得。
故（）。
18．的三边长分别为，过内的点向的三条边、、分别作垂线段、、，且，求的长度。
解：令，则 ①
又
三式相加并整理，得 ②
联立①②解得，
所以。
19．给定两个正整数，，若正整数使得存在一个以，和为边长的三角形，我们便称为“三角形好数”。
现知恰存在100个三角形好数，试求的最大的可能值。
解：不妨设，则

又恰有100个三角形好数，则这些数必为。
所以，即，
易知时，取最大值，此时。
故当时，。