七年级数学家庭辅导-第二十四章-图形的相似-华东师大版.doc

第二十四章 图形的相似l 应知一、基本概念相似图形：在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形。两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的放大或缩小而得到的。成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段【注意】 （1） 两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2） 线段的比是一个没有单位的正数；（3） 四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；（4） 比例具有如下性质： 若a:b=c:d(b.d0)，则有 1） ad=bc 2） b:a=d:c （a.c0） 3） a:c=b:d ; c:a=d:b 4） (a+b):b=(c+d):d 5） a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b0,c+d0) 6） (a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b0,c+d0) 三角形的相似比：相似三角形对应边的比值。如果，则k就是这两个相似三角形的相似比。中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。二、基本法则1. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等2. 相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 (2) 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 (3) 相似三角形周长的比等于相似比。 (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (5) 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。3. 相似三角形的判定：(1) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(2) 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似。(3) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。(4) 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 (定义) 【注意】证明两个三角形相似，应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上!4. 相似直角三角形的判定：(1) 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。(2) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。【注意】全等三角形是相似三角形的特例(k=1)。两个全等的三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。5. 中位线定理：(1) 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。(2) 梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。6. 重心定理：三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。l 应会1. 证明图形(重点是三角形)的相似。2. 画相似图形。3. 用坐标确定图形顶点位置。l 例题1. 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）2. 已知：一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？3. AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？4. 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角的大小和EH的长度5. 在如图所示的两个四边形中，试求出未知数，及角度的大小.6. 在中国地图上，连接上海，香港，台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得他们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为，那么飞机从台湾绕到香港再到上海的飞行距离约为多少千米?7. 如图，求线段的比: ，. 试找出图中成比例的线段。8. 已知线段是，的第四比例项，其中，则( ) A B C D9. 已知:如图，梯形中，并将梯形分成两个相似梯形和，若，.求.10. 已知，求： (1) 的值； (2) 的值11. 如图，平行四边形中，是的中点，是上一点，连EG延长交于，求的值.12. 如图，中，矩形的边在线段上，、分别在、上，设为（1）写出矩形PQED面积与的函数关系式；（2）连PE，当时，求矩形面积。13. 将一张矩形纸沿长边的中点对折，如果得到的两个矩形都与原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸继续这样折下去，得到的矩形都相似吗？请证明。 l 参考答案1. C2. 3.53200000000100000=1120 (km)答：北京到上海的实际距离大约是1120 km。3. 25001005=50000答：这张平面地图的比例尺是1:50000。4. 解：四边形ABCD四边形EFGHBAD=FEH=118，=BCD=83，=360118788381，EH=x=(cm)5. 解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例。 即：，解得，. 又两个四边形的对应角相等，.6. 解：设从台湾绕道香港到上海的实际距离为千米。由比例尺的性质知解得：x=3858答：从台湾绕道香港到上海的实际距离为3858千米。7. 解：（1），. （2），. ，.，.观察与分析：因为线段是，的第四项，所以，即，解得。8. 答案：B9. 解：梯形AEFD和梯形相似，10. 解(1) ，=(2)设，则，观察与分析：延长FE、CB交于H后，不难看出FAEHBE，FAGHCG。从CG=5AG，可知CH=5BH，从而求得DF:FA=3。11. 解：延长FE、CB交于H(如图)AE=EB，FAE=HBE，FEA=HEB FAEHBE，AF=BH设FA=a，则HB=a在 FAG和HCG中，三个对应角分别相等 FAGHCG，得CH=5FA=5a，DA=CB=CHBH=4a，DF=3a .观察与分析：(1) 作AHBC，垂足为H，不难看出BDPBAH。(2) 因为EPAB，所以BDPBAH。从相似三角形对应边的比例关系中得出答案。12. 解：(1) 过作，为垂足(如图)，AB=AC=5，BH=BC=3，由勾股定理得：AH=4DPAH，BDPBAH，PQ=BC2BP=62xy=PQDP=(62x)=(2) 如图，由勾股定理知：，EC=EPAB，CEPCAB，x=2代入(1)求得的函数式：13. 解：设原矩形纸长为a宽为b两矩形相似，得折叠后的矩形：长，宽同理：再折一次所得矩形的长，宽，再折一次所得矩形与原来的两个矩形仍然相似。