七年级数学家庭辅导-第二十五章-解直角三角形-华东师大版.doc

第二十五章 解直角三角形

l 应知
一、基本概念。
锐角的三角函数：在直角三角形ABC中，∠A是锐角，三条边两两之比都是∠A的函数，称为锐角A的三角函数。有：
siaA=,cosA=,tanA=，
【注意】熟记特殊角度的三角函数(见下表)。

仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角(视线在水平线上方的角)叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角(视线在水平线下方的角)叫做俯角。
坡角(倾角)：坡面与水平面的夹角叫做坡角，也叫倾角(倾斜角)。
坡度：坡面的铅垂高度(h)与水平长度(l)之比叫坡面的坡度。坡度．
二、基本法则
Rt△ABC中，除∠C=90°外，还有五个元素，三条边a、b、c，两个角∠A、∠B，只要知道两个元素(至少有一个是边)，即可解出其它元素，因为它们有以下关系：
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系  a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
l 应会
1. 用计算器计算三角函数。
2. 解直角三角形。
l 例题
1. 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离(精确到1米)

2. 2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方F时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）

3. 如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，
求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)。

A时
B时
4. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树高。

5. 如图,小敏、小亮从A,B两地观测空中C处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A,B两地相距100 m.当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时,在A处测得气球的仰角为45°.
（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；
（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）
6. 如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
AB=8, DE=4, cosA=, 求CD的长.

7. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

8. 正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

9. 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

10. 三峡水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD
和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

11. 利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分，以上部分不考虑)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
⑴横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
⑵修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：①要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，
②土方数=S·l
l 参考答案
1. 解：在Rt△ABC中
∴ (米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
观察与分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点Q。解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，将问题放到直角三角形FOQ中解决。

2.

解：如图，从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。过F点作⊙O的切线，切点为Q，连接OQ，则△FQO为直角三角形。
∵OP=OQ=6400km，PF=350km
∴，∠O=18.53°
∴ (km)
观察与分析：注意AC≠A的标高。

3.

解：∵，∴(m)
答：观察所A到船只B的水平距离BC为239米。
观察与分析：将树看作一条线段CD，可把应用题化为纯几何题。根据相似三角形对应边成比例即可求解。

4.

解：如图，设CD为树高，DE为A时树影，DF为B时树影。
∵∠ECF=90°CD⊥EF
∴△CED∽△FCD (直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。)
∴，
解得：CD=4
答：树高4米。
观察与分析：如图，作CD、C'E两条辅助线后，即可将应用题化为解直角三角形问题。

5.

解:(1) 作CD⊥AB,C/E⊥AB,垂足分别为D,E.
∵ CD ＝BD·tan60°,
CD ＝（100＋BD）·tan30°,
∴（100＋BD）·tan30°＝BD·tan60°, ∴ BD＝50, CD ＝50≈86.6 m，
(2) ∵ BD＝50, AB＝100, ∴ AD＝150 ,
又∵ AE ＝C/E＝50, ∴ DE ＝150－50≈63.40，
答： 气球的高度约为86.6 m，气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.

6. 解：作CF⊥AB，垂足为F(如图)
∵ABCD为等腰梯形，DE与CF都垂直于AB
∴△ADE≌△BCF，AE=BF
又∵cosA=，DE=4，
∴AE=3，CD=AB-AE-BF=8-3×2=2
观察与分析：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角(下图)。

7.

解：∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线。
观察与分析：根据题意作出图来则一目了然。

8.

解：题意如图所示，显然∠AOB=60°，∠ABO=30°，∠OAB=90°
∵ ∴AB=OA·tan60°=10×=17.32
∴
答：11点44分渔轮到达小岛O的正东方向。
观察与分析：作了AD⊥BC，垂足在BC延长线上D点。本题实际上就是求AD是否小于8海里。

9.

解：作了AD⊥BC，垂足在BC延长线上D点。
∵AD=CD·tan60°,AD=(BC+CD)·tan30°
∴CD·tan60°=(BC+CD)·tan30°
即：CD·=(12+CD)·=
∴ (海里)
∴(海里)＞8海里
答：鱼船不改变航向继续向东航行没有触礁的危险。
10. 解：在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
11.  解：⑴
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
( 米2)
⑵总土方数=截面积×渠长=0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．