全等三角形-截长补短法.doc

“截长补短”的思想在几何证明中的运用
【学习目标】（30秒）
用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）
用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2分钟）
1、画一画：线段AB=CD+EF 线段CD=AB-EF
线段AB

线段CD

线段EF

（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）
【归纳小结】（2分钟）
截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（3+4+6分钟）
例1、 如图，在ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+CD
思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE.

_
D
_
C
_
B
_
A

证明： 在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠EAD= ∠CAD
在△EAD和△CAD中
AE=AC，
∠EAD= ∠CAD
AD=AD；
∴△AED≌△ACD（SAS）
∴∠AED=∠C=2∠B
ED=CD
例2、 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AD于F。
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF。
在Rt△AED和Rt△CFD中，
DE=DF，
AD=CD，
∴Rt△AED≌Rt△CFD，
∴∠EAD=∠C，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°。

图2-2
例3、 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

图1-2
o 证明：在CD上取一点F，使得DF=DA，连接EF
∵DE平分∠ADF，
∴ ∠ADE= ∠FDE
在△ADE与△FDE中
DA=DF
∠ADE= ∠FDE
DE=DF
∴ △ADE≌△FDE（SAS）
∴ ∠A= ∠DFE (全等三角形对应角相等)
∵ AD∥BC，
∴ ∠A+∠B=180°
又∵∠DFE+∠CFE=180°
∴∠B=∠CFE，
又∵CE平分∠BCF，
∴∠ECF=∠ECB
在△BCE和△FCE中
∠B=∠CFE
∠ECF=∠ECB
CE=CE
∴△BCE≌△FCE
∴CF=CB （全等三角形对应边相等）
∵AD=DF
∴ CD=AD+BC
【课堂小结】
截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
□ 达标检测
【基础训练】
1、如图,在△ABC中,∠C=25°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,则∠BAC的度数是 105°.
2、如图，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：AB＋BD＝CD

证法一：在线段CD上截取DE=BD，连结AE

证法二：如图2，延长CB到F，使BF=AB。连结AF

则

【能力提升】
3、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

证明:延长CB到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.
连接AM.AB=AD,BM=DF,∠ABM=∠D,则:⊿ABM≌ΔADF(SAS).
故:∠MAB=∠FAD;又AF平分∠EAD,则:∠MAB=∠EAF;
则∠M=∠AFD=∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠MAB=∠MAE,得AE=ME.
所以,AE=ME=BE+DF.

【思考题】
4、如图，已知△ABC中，∠A＝90º，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD.

· 分别延长CE,BA，交与一点F
因为BE⊥EC
BE平分∠ABC
∠FEB=∠BEC=90°
∠ABD=∠DBC
BE=BE
△BFE全等于△BEC  (以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明)
FE=EC  即  FC=2EC
又AB=AC
∠BAC=90°
∠ABD+∠ADB=180°
∠ADB=∠EDC，故∠ABD+∠EDC=90°
又∠DEC=90°   ∠EDC+∠ECD=90°
∠FCA=∠DBC=∠ABD
△ADB全等于△FAC
FC=BD=2EC
【选做题】
如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：图略.画图正确得1分.
(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD. ……2分
(2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立.
证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. ……3分
因为∠1=∠2，AF为公共边，
可证△AEF≌△AGF.
所以∠AFE=∠AFG，FE=FG. ……4分
由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°.
所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
所以∠CFG=60°. ……5分
由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD.
所以FG=FD.
所以FE=FD. ……6分
证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H. ……3分
因为∠B=60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
所以可得∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心. ……4分
所以∠GEF=60°+∠1，FG=FH.
又因为∠HDF=∠B+∠1，
所以∠GEF=∠HDF. ……5分
因此可证△EGF≌△DHF.
所以FE=FD. ……6分

导学设计
教学重难点
用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

教具准备
三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．

导学流程
一、导入新课,揭示目标(1分钟)
线段AB=10cm
线段CD=6cm
线段EF=4cm
语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。

师生对照课件解读学习目标
用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

二、归纳小结
截长补短法： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

三．典题解析
例1、思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE.或者在AB上截取AG，使AG=AC，连接DG。
追问;这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。

展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，一组展示截长法，三组展示补短法。

例2、思路点拨：怎样利用角平分线的性质来作辅助线?

追问：1、能不能在线段BC上截取BG=AB呢？
2、能不能延长线段AB到H,使AH=BC呢？

展示分配：二、四小组展示，其他小组质疑，提问。
组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，二组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，四组展示截长法或者补短法。

例3、思路点拨：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.

展示分配：五、六小组展示，其他小组质疑，提问。
组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，六组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，五组展示补短法。

追问：能不能延长DA与CE相交与G点来证明CD=AD+BC呢？

课堂小结（3分钟）:
1、 基本图形：翻折构造全等三角形
_
D
_
C
_
B
_
A

2、 截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

达标检测(10分钟)

1、提示：将△ABD沿AD所在直线翻折，使B点落在CD上，构造全等三角形。

2、 提示一：采取截长法构造全等三角形△ABD≌△AED来证明AB＋BD＝CD

2、提示二：采取补短法构造全等三角形△ACD≌△AFD来证明AB＋BD＝CD

3、提示：要证BE+DF=AE.
就要构造全等三角形，延长CB到M,证⊿ABM≌ΔADF,这就需要连接AM。

4、提示： 延长BA,CE。先证明△BCE≌△BGE，再证明Rt△BAD≌Rt△CFC。就可以得到BD=CF。

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板书设计：
一． 操作思考（截长补短法）
二、归纳方法
截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三、典例解析
学生展示例一
学生展示例二
学生展示例三

教后反思:
1. 学生在讲解典例时分析的思路未讲解透彻；
2. 学生在讲解过程中不能把握好时间。

【选做题】
思路点拨：我们可以利用角平分线翻折构造全等三角形，辅助线的作法见图所示。

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