【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-6.1不等式的性质及应用课时提能训练-文-新人教版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 6.1不等式的性质及应用课时提能训练 文 新人教版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)
(A)　　　(B)1　　　(C)2　　　(D)4
2.(2012·桂林模拟)设0＜a＜b，a＋b＝1，则，b,2ab，a2＋b2中最大的是(　　)
(A) (B)2ab (C)b (D)a2＋b2
3.下列函数中，y的最小值为2的是(　　)
(A)y＝x＋ (B)y＝
(C)y＝ex＋e－x (D)y＝＋(0＜x＜π)
4.(2012·南宁模拟)已知a，b，c是正实数，则“b＝a＋2c”是“b2≥4ac”
的(　　)
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
5.(2012·百色模拟)已知b＜a＜0，且ab＝1，则取得最小值时，a＋b等于
(　　)
(A)－　　(B)－　　(C)－　　(D)－
6.设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0；
②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2>x1时，有f(x2)>f(x1)>0，则下列不等式不一定成立的是(　　)
(A)f(a)>f(0) (B)f()>f()
(C)f()>f(－3) (D)f()>f(－a)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.如果对于任意的正实数x，不等式x＋≥1恒成立，则a的取值范围是　　　　.
8.若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值为　　　　.
9.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是　　　　.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值.
11.已知a>0，b＝(a＋)，c＝(b＋)，比较a，b，c.
【探究创新】
(16分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房，经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数解析式；
(2)该楼房建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

答案解析
1. 【解析】选A.由a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0得2＝a＋2b≥2＝2，
∴ab≤，当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝时取等号.
2.【解析】选C.∵0＜a＜b，∴a2＋b2＞2ab，
又a＋b＜b＋b＝2b，∴b＞，
b－(a2＋b2)＝b－b2－a2＝b(1－b)－a2
＝b·a－a2＝a(b－a)＞0，
∴b＞a2＋b2，故选C.
3.【解析】选C.对A，x不一定大于0，则A不成立；对B，y＝＝＝＋
≥2＝2，而等号成立的条件为＝1，x2＝－1不成立，故y取不到最小值2，同理D也不成立.对C，y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x即ex＝1，x＝0时取等号.
4.【解析】选A.∵a，b，c是正实数，
∴b＝a＋2c≥2，
∴2b2≥8ac，即b2≥4ac，
∴b＝a＋2c是b2≥4ac的充分条件.
反之，若b2≥4ac成立，则b＝a＋2c不一定成立.
(如b＝5，a＝c＝2使b2≥4ac成立，
但b＝a＋2c不成立.)
∴b＝a＋2c是b2≥4ac的不必要条件，故选A.
5.【解析】选B.∵b＜a＜0，a－b＞0，ab＝1，
∴＝＝a－b＋
＝(a－b)＋≥2，
当且仅当a－b＝，
即a－b＝时，等号成立，
此时(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝2＋4＝6，
∴a＋b＝－，故选B.
6.【解析】选C.由函数f(x)的定义域为R且对任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数且f(0)＝0；由对任意x1，x2∈[1，a]，当x2>x1时，有f(x2)>f(x1)>0知f(x)在[1，a](a>1)上为增函数且函数值为正值，显然A成立；由a>>>1，则f()>f()，B成立；函数f(x)在[－a，－1](a>1)上为增函数，＝－3<－1，＋a＝＝>0，即>－a，因此f()>f(－a)，从而D成立；由于－3在不在区间[－a，－1]内不确定，因此f()与f(－3)的大小关系不确定，故选C.
7.【解析】当a≤0时，x＋≥1对任意的正实数x，不可能恒成立，所以a＞0.
∴x＋≥2＝2，其中当且仅当x＝时等号成立.
要使x＋≥1恒成立，则2≥1，解得a≥.
答案：[，＋∞)
8.【解析】由2a＋2b＝2a＋b可得＋＝1，由均值不等式知，＝·≤()2＝，其中当且仅当＝＝，即a＝b＝1时等号成立.
2a＋2b＋2c＝2a＋b＋2c＝2a＋b＋c，
即2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
可得2c＝≤＝.
所以c的最大值为log2＝2－log23.
答案：2－log23
9.【解题指南】把求解x＋y的最大值问题转化为求xy的最大值问题，而xy取最大值时必为正数，不妨设x，y均为正实数来研究.
【解析】∵x2＋y2＋xy＝1，∴(x＋y)2－xy＝1，
故当xy取最大值时，当x＞0，y＞0时，x＋y取最大值.
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，
∴(x＋y)2≤，x＋y≤.其中当且仅当x＝y＝时等号成立.
答案：
10.【解析】(1)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×[]2＝，
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，
∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2
≥2·＋2＝2·＋2
＝2·＋2＝20，
当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时等号成立，故表达式3x＋27y＋2的最小值为20.
11.【解题指南】本题可利用均值不等式先得到b，c的大致范围，然后利用作差法进一步比较a，b，c的大小.
【解析】由题意，a>0时b＝(a＋)≥，当且仅当a＝时等号成立；同理，由b≥知，c≥，当且仅当b＝时等号成立.所以当a＝时，b＝且c＝，此时a＝b＝c.
当a>时，b>，c>，此时a－b＝>0，
b－c＝>0，所以a>b>c.
当0<a<时，由b>，c>知b>a，c>a，
此时b－c＝>0仍然成立，所以b>c>a.
【探究创新】
【解析】(1)依题意知
y＝560＋48x＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*).
(2)∵x≥10，
∴48x＋≥2＝1 440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到等号，此时平均综合费用的最小值是560＋1 440＝2 000(元).
即当楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.
【方法技巧】解实际应用问题时应注意的几点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值即可；
(3)在求最值时，一定要在定义域(实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【变式备选】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图).

(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
【解析】(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米.
∴a2x＝4 000，得a＝，
∴S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80(2＋)＋4 160.
(2)由(1)易知S≥1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当2＝，
即x＝2.5时取等号，
即当x＝2.5时，公园所占面积最小.
此时a＝40，ax＝100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米.
- 6 -