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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
2015·新课标Ⅰ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
6.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
7．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A. B. C．10 D．12
8.
函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
9．执行下面所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－
2015·新课标Ⅰ卷 第2页11.
第11题图
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
12．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
14．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
15．若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
16．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
2015·新课标Ⅰ卷 第3页18.
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝wi.
2015·新课标Ⅰ卷 第4页(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－ .
20.(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
2015·新课标Ⅰ卷 第5页21.(本小题满分12分)设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．
2015·新课标Ⅰ卷 第6页
23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
2015·新课标Ⅰ卷 第7页
24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2015·新课标Ⅰ卷 第8页
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
2015·新课标Ⅱ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )
A．(－1,3) B．(－1,0) C．(0,2) D．(2,3)
2．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3 C．3 D．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7 C．9 D．11
6.
第6题图
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
7．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
8.
第8题图
右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
9．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. D.
10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
11.
如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
2015·新课标Ⅱ卷 第2页12.设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
14．若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
15．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
16．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
2015·新课标Ⅱ卷 第3页
18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
2015·新课标Ⅱ卷 第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19.
(本小题满分12分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
2015·新课标Ⅱ卷 第5页20.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
2015·新课标Ⅱ卷 第6页请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．
23.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
2015·新课标Ⅱ卷 第7页(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
2015·新课标Ⅱ卷 第8页
2015·山东卷 第1页2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )
A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)
2．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
6.
为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log(x＋)≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
8．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)
9．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C．2π D．4π
10．设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
2015·山东卷 第2页第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11.
第11题图
执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
12．若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为________．
13．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
14.定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
15．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
2015·山东卷 第3页(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
17.(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，
求sin A和c的值．
2015·山东卷 第4页
18.
(本小题满分12分)如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
2015·山东卷 第5页(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
19.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式；
2015·山东卷 第6页(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分13分)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
2015·山东卷 第7页(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．
21.(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点(，)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
2015·山东卷 第8页(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
a．求的值；
b．求△ABQ面积的最大值．
2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2015·安徽卷 第1页1.设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )
A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i
2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{1,2,5,6} B．{1} C．{2} D．{1,2,3,4}
3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
5．已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是( )
A．－1 B．－2 C．－5 D．1
6．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1
7．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
9．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2
10．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
2015·安徽卷 第2页第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．lg＋2lg 2－()－1＝________.
12．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
13．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
14．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
2015·安徽卷 第3页
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
17.(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
2015·安徽卷 第4页(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
18.(本小题满分12分)已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
2015·安徽卷 第5页(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(本小题满分13分)如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱锥PABC的体积；
2015·安徽卷 第6页
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
20.(本小题满分13分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
2015·安徽卷 第7页(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
2015·安徽卷 第8页(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
2015·北京卷 第1页第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝( )
A．{x|－3<x<2} B．{x|－5<x<2} C．{x|－3<x<3} D．{x|－5<x<3}
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x
4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A．90 B．100 C．180 D．300
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )
A．1 B. C. D．2
8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
2015·北京卷 第2页第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)
9．复数i(1＋i)的实部为________．
10．2－3,3，log25三个数中最大的数是________．
11．在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.
12．已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
13．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．
14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
2015·北京卷 第3页②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最小值．
16.(本小题满分13分)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式；
2015·北京卷 第4页(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
17.(本小题满分13分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
2015·北京卷 第5页(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
2015·北京卷 第6页(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥VABC的体积．
19.(本小题满分13分)设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
2015·北京卷 第7页
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．
20.(本小题满分14分)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
2015·北京卷 第8页
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
2015·天津卷 第1页2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
·柱体的体积公式V＝Sh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高．
·锥体的体积公式V＝Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁UB＝( )
A．{3} B．{2,5}
C．{1,4,6} D．{2,3,5}
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．14
3.
第3题图
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
6.
如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )
A. B．3
C. D.
7．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.5 3)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．a<c<b D．c<b<a
8．已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2015·天津卷 第2页第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)
9．i是虚数单位，计算的结果为________．
10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
11．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若
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