陕西省西工大附中高三数学理上学期第一次适应性训练北师大版.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练
高三数学（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知，命题“若，则”的否命题是（ ）
A．若，则 B． 若，则
C．若，则 D． 若，则
4．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ 　）
　A．　　　B．　　　C．　　　D．
5. 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6. 设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A． B． C． D．
8．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A．2　 　　B．3　　 　C．4　　 D．5
9．已知函数，则方程的不相等的实根个数为（ ）
A．5　　 　B．6　　 　C．7　 　 　D．8
10．已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为m的正方形, PD⊥底面ABCD,且PD= m ,PA=PC=m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是 .
12. 已知直线与平行，则的值是 .
13. 已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数 .
14. 已知的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为 .
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（不等式选做题）不等式的解集是 ；
B．(几何证明选做题) 如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，的平分线与分别交于点，若，则 ；
C.(极坐标系与参数方程选做题) 若分别是曲线和上的动点，则两点间的距离的最小值是 ；
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
已知向量，，函数
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式都成立，求实数m的最大值.
17．(本小题满分12分)．
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
18．（本小题满分12分）.
如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记,用表示四棱锥P-ACFE的体积.
（Ⅰ）求 的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时,取得最大值？
(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
19．（本小题满分12分）
设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点
（－1，f（－1））处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)= 的单调区间.
20．（本小题满分13分）
已知直线与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．
21．（本小题满分14分）
数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列满足，求数列中的最大项；
（Ⅲ） 求证：．

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练
高三数学（理科）参考答案
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. B 2． C 3． A 4． D　5. A 6. D 7． C 8． D 9． C 10． C
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11. 12. 3或5 13. 5 14. 和
15.A． B． C.
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
（Ⅰ）

由 ，
得
所以的单调增区间是
（Ⅱ）因为
所以
所以 所以，m的最大值为0.
17．(本小题满分12分)．
（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．或P= .
18．（本小题满分12分） (Ⅰ)
即;
(Ⅱ),时, 时,
时取得最大值.
(Ⅲ)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;
,设异面直线AC与PF夹角是

19．（本小题满分12分）(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，2a+3）,
故
又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.
此时有
从而

所以
令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）、（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
20．（本小题满分13分）
（1）（6分），2c=2，即∴则
∴椭圆的方程为，
将y =- x+1代入消去y得：
设
∴
（2）（7分）设
，即
由，
消去y得：
由，
整理得：
又，

由，得：
，
整理得：

代入上式得：，

条件适合，
由此得：
故长轴长的最大值为．
21. (本小题满分14分)
（1）由已知：对于，总有 ①成立
∴②
①②得
∴∵均为正数，∴
∴数列是公差为1的等差数列 又=1时，， 解得=1.
∴.
（2）(解法一)由已知 ，

易得　 猜想 时，是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为.
(解法二) 猜测数列中的最大项为. 易直接验证;
以下用数学归纳法证明 时,
(1)当时,, 所以时不等式成立;
(2)假设时不等式成立,即,即,
当时,,
所以,即时不等式成立.
由(1)(2)知对一切不小于3的正整数都成立.

(3)(解法一)当时,可证:

(解法二) 时,

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