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高中三年级教学质量检测
数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页。共150分，测试时间120分钟。
第Ⅰ卷(共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合则( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是( )
A. B.
C. D.
3.若直线与圆有公共点，则实数的取值为( )
A. B.
C. D.
4. 下图为一个几何体三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)( )
A. B. C. D.
5.等比数列的前项和为，若成等差数列，则( )
A.7 B.8 C.15 D.16
6.如右程序框图，输出的结果为( )
A.16 B.4 C.2 D.1
7.在空间中，给出下面四个命题：
(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行
于该平面；
(3)两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；
(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于
另一平面内的无数条直线
其中正确的是( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
8.若不等式组 所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则 的值为( )
A. B. C. D.
9.若，则的值为( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
10.如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，
数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此实验数据可以估计出
椭圆的面积约为( )
A.5.16 B.6.16 C.18.84 D.17.84
11.已知分别是双曲线的两个焦点，和是以(为坐标原点)为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个焦点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.如下图，已知，则的图像可以为( )
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．对，函数满足，且时，，则 的值是 。
14．已知椭圆的左、右焦点分是椭圆上一点，是的中点，若
(为坐标原点)，则等于 。
15．已知向量设是直线上任意一点(为坐标原点)，则的最小值为 。
16．给出以下四个命题：
①设是实数，是虚数单位，若是实数，则；
②不等的解集为；
③；
④已知命题在中，如果，则；命题在定义城内是减函数，则为真，为假，为真。
其中正确命题的序号是 。(请把正确的序号全部填上)
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本题满分12分)在中，角所列边分别为，且。
(Ⅰ)求角；
(Ⅱ)若，试判断取得最大值时形状。
18．(本题满分12分)如图，在五面体中，
平面为的中
点，。
(Ⅰ)求异面直线与所成的角的大小；
(Ⅱ)证明：平面平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
19．(本地满分12分)某足球俱乐部和其他4支俱乐部进行足球联赛，它要与其他每支球队各赛一场，在4场的任意一场中，此俱乐部每次胜、负、平的概率相等。已知当这四场比赛结束后，该俱乐部胜场多于负场。
(Ⅰ)求该俱乐部胜场多于负场的所有可能的个数和；
(Ⅱ)若胜场次数为，求出的分布列并求的数学期望。
20．(本题满分12分)已知当时，二次函数取得最小值，等差数列 的前项和
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，数列的前项和为，证明。
21．(本题满分12分)已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小。
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于两点，设
①当时，求直线的方程；
②当的面积为 时(为坐标原点)，求直线的斜率。
22．(本题满分14分)设函数
(Ⅰ)判断函数的单调性；
(Ⅱ)当上恒成立时，求的取值范围；
(Ⅲ)证明：
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数学试题(理科)参考答案
1-5 BBBCC 6-10 ADCCC l1-12 DA
13． 14．6 15．-8 16．①②③
17．(本题满分12分)在中，角所列边分别为，且。
(Ⅰ)求角；
(Ⅱ)若，试判断取得最大值时形状。
解：(Ⅰ) ………………………………2分
即
………………………………………………4分
……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)在中，且
即，当且仅当时，取得最大值， ………………………………9分
又
故取得最大值时，为等边三角形 ……………………………………………12分
18．(本题满分12分)如图，在五面体中，
平面为的中
点，。
(Ⅰ)求异面直线与所成的角的大小；
(Ⅱ)证明：平面平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
解：如图建立空间直角坐标系，设则
因为为的中点，则
(Ⅰ) ………………4分
(Ⅱ) ，则
所以平面，得平面平面； ………………………………8分
(Ⅲ)由图可得平面的法向量为，设平面的法向量为
列方程组的 得
……………………………………………………………………12分
19．(本地满分12分)某足球俱乐部和其他4支俱乐部进行足球联赛，它要与其他每支球队各赛一场，在4场的任意一场中，此俱乐部每次胜、负、平的概率相等。已知当这四场比赛结束后，该俱乐部胜场多于负场。
(Ⅰ)求该俱乐部胜场多于负场的所有可能的个数和；
(Ⅱ)若胜场次数为，求出的分布列并求的数学期望。
解：(Ⅰ)若胜一场，则其余为平，共有 ………………………………………2分
若胜两场，则其余两场有一负一平和两平两种情况，
共有………………………………………………………………………4分
若胜三场，则其余一场有负和平两种情况，
共有 ……………………………………………………………………………6分
若胜四场，则只有一种情况，共有
综上，共有种情况。……………………………………………………………………8分
(Ⅱ)可能取值为
所以分布列为。
………………………………10分
…………………………………………………………………………………12分
20．(本题满分12分)已知当时，二次函数取得最小值，等差数列 的前项和
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令，数列的前项和为，证明。
解：(Ⅰ)由题意得：
得 ………………………………………………4分
………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)
①
②
①-②得
………………………………………………………………………10分
当时，
…………………………………………………………………………………12分
21．(本题满分12分)已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离小。
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于两点，设
①当时，求直线的方程；
②当的面积为 时(为坐标原点)，求直线的斜率。
解：(Ⅰ)点到的距离比它到直线的距离小于
点在直线的上方，
点到的距离与它到直线的距离相等
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线
所以曲线的方程为……………………………………………………………4分
(Ⅱ))当直线的斜率不存在时，它与曲线只有一个交点，不合题意，
设直线的方程为即
带入得
对恒成立，所以直线与曲线恒有两个不同的交点
设交点的坐标分别为
则……………………………………………………………6分
①由且得点是弦的中点，
，则得直线的方程是………………………8分
②
点到直线的距离 ……………………………………………………10分
或（舍去）
或……………………………………………………………………………12分
22．(本题满分14分)设函数
(Ⅰ)判断函数的单调性；
(Ⅱ)当上恒成立时，求的取值范围；
(Ⅲ)证明：
解： …………………………………………………………………………2分
(Ⅰ) 所以当时，
在是增函数 …………………………………………………………………4分
当时，在上在上
故在上是增函数，在上是减函数……………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时，在上不恒成立；……………8分
当时，在处取得最大值为因此即时，
在上恒成立，即在上恒成立。
所以当在上恒成立时，的取值范围为……………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，的最大值为
所以（当且仅当时等号成立），令，则得
即…………………………………………………………12分
从而得
由函数的单调性得………………………………………14分
用心 爱心 专心
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