立体几何高考经典大题理科.doc

1·如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

z
x
P
C
B
A
D
y

2·如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

3·如图，直三棱柱中，，
是棱的中点，
（1）证明：
（2）求二面角的大小。

1·解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.
(Ⅱ)设正方形边长，则。
又，所以,
连，由（Ⅰ）知,所以,
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小为。
（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使
由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.
解法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。
设底面边长为，则高。
于是

故 从而
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为
（Ⅲ）在棱上存在一点使.
由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，
且
设
则
而
即当时，
而不在平面内，故
z
x
P
C
B
A
D
y
2·解析1：（Ⅰ）因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为
轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则
,,,。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,
即 因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1，）
故二面角A-PB-C的余弦值为
3·【解析】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，过点作于点，连接
，面面面
得：点与点重合
且是二面角的平面角
设，则，
既二面角的大小为

4·如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，
∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

5.如图三棱锥中，侧面为菱形，.
(Ⅰ) 证明：；
（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.

4·【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB，
∵=E，∴AB⊥面，
∴AB⊥； ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. ……12分
5·解析：（1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点.
又，故
（2）因为且为的中点，所以
又因为，所以
故，从而，，两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以为等边三角形.又，则
，，，
，，

设是平面的法向量，
即
所以可取
设是平面的法向量，则
同理可取
则
所以二面角的余弦值为.