《金版新学案》2012高三数学一轮复习-第七章-章末优化训练线下作业-文-新人教A版.doc

章末优化训练
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：　在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．
答案：　B
2．下列四个命题中，真命题的个数为(　　)
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
②两条直线可以确定一个平面
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：　①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．
答案：　A
3．一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为(　　)

A．2 B．4
C．4 D．8
解析：　由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由正视图的面积为，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S＝8××1×1＝4.
答案：　C
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
解析：　设圆台的上、下底面半径分别为r，R，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，H，则＝，
又πR2＝9·πr2，∴R＝3r，∴H＝3h.
∴πR2·H－πr2h＝52.
即πR2·H－π·R2·H＝52，∴πR2H＝54.
答案：　A
5．设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面α，β，b⊂α，c⊄α.则下列命题不成立的是(　　)
A．若α∥β，c⊥α，则c⊥β
B．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题
C．若a是c在α的射影，b⊥a，则c⊥b
D．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题
解析：　命题C即为三垂线定理；命题D中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D正确；命题A显然成立；对于命题B，若α⊥β，则b与β的位置关系都有可能．
答案：　B
6．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：
①⇒n∥α；②⇒n∥m；③⇒β∥α；
④⇒m∥n.
其中正确的是(　　)
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
解析：　命题①的结论中，应为n∥α或n⊂α.命题①错误；命题②即为直线与平面垂直的性质定理．命题②正确；命题③显然成立；命题④的结论中，应为m∥n或m与n相交或m与n成异面直线才成立．命题④错误．
答案：　A
7．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是(　　)
A．梯形 B．圆外切四边形
C．圆内接四边形 D．任意四边形
解析：　P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则P在平面α内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．
答案：　B
8．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析：　由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．
答案：　C
9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.

如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AD＝a，AO＝a，OO2＝，
设球的半径为R，则R2＝AO＝a2＋a2＝a2.
∴S球＝4πR2＝4π×a2＝πa2.
答案：　B
10.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQMN的体积是(　　)
A．6 B．10
C．12 D．不确定
解析：　四棱锥R－PQMN的底面积为
S＝S△PQM＋S△MNP＝PQ·AC＋MN·AC
＝(PQ＋MN)·AC＝(1＋3)×3＝6.
其高h＝，VR－PQMN＝Sh＝×6×＝6.
答案：　A
11.如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是(　　)

A．当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交
D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行
解析：　当M，N重合时，四边形ACBD为平行四边形，
故AC∥BD∥l，
此时直线AC与l不可能相交，B正确．易知A，C，D均不正确．
答案：　B
12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：
①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②若α∥β， β，m∥α，则m∥β；
③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；
④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：　本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m作一平面与α，β同时相交，交线分别为a，b，由α∥β知a∥b，又m∥α⇒m∥a，∴m∥b，又m⊄β，∴m∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．
答案：　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．

解析：　由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥．
因此，其体积V＝π·12×＝π.
答案：　π
14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．

解析：　图①为空间四边形D′OEF在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形D′OEF在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形D′OEF在上面(或下面)上的投影．
答案：　①②③
15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．

解析：　设AE＝x，BE＝6－x，V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C，且V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，
所以×(3x)×4∶(6－x)×3×4∶×(3x)×4＝1∶4∶1，解得x＝AE＝2，
∴A1E＝＝，∴SA1EFD1＝4.
答案：　4
16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．
解析：　取CC1的中点F，连接EF，EF交平面BB1D1D于点N，且EN＝FN，

所以F点是E点关于平面BB1D1D的对称点，
则AM＋ME＝AM＋MF，
所以当A，M，F三点共线时，AM＋MF最小，即AM＋ME最小，
此时AM＋MF＝AF＝＝.
答案：　a
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)一几何体的三视图如下：

(1)画出它的直观图，并求其体积；
(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．
解析：　(1)该几何体的直观图如图，

棱锥P－ABC，其中PC⊥面ABC，∠ABC＝90°，△ABC斜边AC上的高为 cm，PC＝6 cm，AC＝5 cm，
∴VP－ABC＝××5××6＝12(cm3)．
(2)互相垂直的面分别有：
面PAC⊥面ABC，面PBC⊥面ABC，面PBC⊥面PAB.

18．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．
(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；
(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.
解析：　(1)当M为棱PA中点时，OM∥平面PBC.
证明如下：
∵M，O分别为PA，AB中点，∴OM∥PB.
又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，∴OM∥平面PBC.
(2)证明：连结OC，OP.
∵AC＝CB＝，O为AB中点，AB＝2，∴OC⊥AB，OC＝1.
同理，PO⊥AB，PO＝1.又PC＝，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，
∴∠POC＝90°.∴PO⊥OC.
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABC.
∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC.
19．(12分)

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
解析：　(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，
∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)．
∴当r＝0.4时，S有最大值，约为1.51平方米．
(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．
制作灯笼的三视图如图．

20．(12分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求四面体B－DEF的体积.【解析方法代码108001099】
解析：　

(1)证明：如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，
故GH綊AB.
又EF綊AB，∴EF綊GH.
∴四边形EFHG为平行四边形．
∴EG∥FH.
而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
(2)证明：由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC.
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.
又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.
(3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，
∴BF⊥平面CDEF.
∴BF为四面体B－DEF的高．
又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.
VB－DEF＝××1××＝.
21．(12分)一个空间几何体G－ABCD的三视图如图所示，其中Ai、Bi、Ci、Di、Gi(i＝1,2,3)分别是A、B、C、D、G五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影．在正(主)视图中，四边形A1B1C1D1为正方形，且A1B1＝2a；在侧(左)视图中，A2D2⊥A2G2；在俯视图中，A3G3＝B3G3.

(1)根据三视图作出空间几何体G－ABCD的直观图，并标明A、B、C、D、G五点的位置；
(2)在空间几何体G－ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在直线CG上，求证：平面AGD⊥平面BGC；
(3)在(2)的条件下，求三棱锥D－ACG的体积及其外接球的表面积．
解析：　(1)

空间几何体的直观图如图所示，
由题意可知，平面ABCD⊥平面ABG，四边形ABCD为正方形，且AG＝BG，AB＝2a.
(2)证明：因为过B作平面AGC的垂线，垂足H在直线CG上，
所以BH⊥平面AGC.
因为AG⊂平面AGC，所以BH⊥AG.
又因为BC⊥AB，所以BC⊥平面AGB，所以BC⊥AG.
又因为BC∩BH＝B，所以AG⊥平面BGC.
又因为AG⊂面AGD，故平面AGD⊥平面BGC.

(3)由(2)知，AG⊥GB，AG⊥CG，
所以△ABG为等腰直角三角形．
过点G作GE⊥AB于点E，则GE为G点到平面ABCD的距离，且GE＝AB＝a，AG＝BG＝a.
所以VD－ACG＝VG－ADC＝×AD×DC×GE＝a3.
取AC的中点M，因为△AGC和△ACD均为直角三角形，
所以MD＝MG＝MA＝MC＝AC＝a.
所以M是四棱锥D－ACG的外接球的球心，半径为a，
所以S球＝4π×(a)2＝8πa2.

22．(14分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．
(1)求证：平面A1ABB1⊥平面BCC1B1；
(2)求证：B1C∥平面A1DB；
(3)设E是CC1上一点，试确定点E的位置，使平面A1DB⊥平面BDE，并说明理由．
解析：　(1)证法一：∵AC1⊥平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，

∴AC1⊥A1B，又在正方形A1ABB1中，A1B⊥AB1，AC1∩AB1＝A，
∴A1B⊥平面AC1B1，
又B1C1⊂平面AC1B1，
∴A1B⊥B1C1.
又∵在正方形BCC1B1中，
B1C1⊥BB1，
又BB1∩A1B＝B，
∴B1C1⊥平面A1ABB1，B1C1⊂平面B1BCC1，
∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1.
证法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又AC1⊥平面A1DB，A1D⊂平面A1DB，∴AC1⊥A1D.
又D为AC的中点，∴AA1∶AD＝AC∶CC1，
AC2＝AA1·CC1＝AB2，∴AC＝AB，∴AB⊥BC，
又BC⊥BB1且BB1∩AB＝B，∴BC⊥平面A1ABB1，
又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B.
(2)证明：连结AB1交A1B于点O，连接OD，
∴O为AB1中点，又D为AC中点，
∴在△ACB1中，OD∥CB1.
∵CB1⊄平面A1DB，OD⊂平面A1DB，
∴B1C∥平面A1DB.
(3)取CC1中点E，又D为AC中点，
∴在△ACC1中，DE∥AC1，
又AC1⊥平面A1DB.
∴DE⊥平面A1DB.
又∵DE⊂平面BDE，
∴平面A1DB⊥平面BDE，
即当E为CC1中点时，平面A1DB⊥平面BDE.