浙江省名校新高考研究联盟高三数学第一次联考试题-理-新人教A版.doc

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积，
其中表示球的半径 表示棱台的高
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）
1．已知函数则 ( )
A． B． C． D．
2．设则 是“”成立的 ( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
3．设是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( )
A．过且与平行的平面有且只有一个
B．过且与垂直的平面有且只有一个
C．与所成的角的范围是
D．过空间一点与、均平行的的平面有且只有一个
4． 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数： ，，，. 则“同形”函数是 ( )
开始

否

是
输出
结束
(第5题)
A．与 B．与
C．与 D．与
5．右面的程序框图输出的数值为 ( )
A．　 B．
C． D．
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则为 ( )
O

x
ｙ
２
A．1 B． C．2 D．
7．是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
8．函数 的部分图象
如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
(第8题)
9．已知集合

若存在，使得，则的最大值是 ( )
A． B． C. D.
10. 已知函数与函数有一个相同的零点，则与
A．均为正值 B．均为负值 C. 一正一负 D. 至少有一个等于 ( )
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）
俯视图
正视图
侧视图
1
1
（第12题）
1
2
11．复数的模是_______.
12．已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为 .
13．正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成的角为，则 .
14．二项式的展开式中，常数项的值为 .
15．如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当时，椭圆的离心率是 .
16．设函数若不存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是 .
17．已知三点不共线，其中. 若对于的内心，存在实数，使得，则这样的三角形共有 个.

三、解答题（本大题共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
18．（本题满分14分）设函数
（Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值是的集合；
（Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求的最小值.

19．（本题满分14分）已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为.
（Ⅰ）计算，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求满足的的集合.
20题
20．（本题满分14分） 如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当平面平面时，求的值.

21题
21．（本题满分15分）如图，已知点，点是⊙：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知⊙：（）的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证：对于任意一条切线总有.

22．（本题满分15分）已知函数（常数）.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：.

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考
数学（理科）答题卷
题号
一
二
三
总分
1～10
11～17
18
19
20
21
22
得分

学好

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在下面横线上。

11、 12、
13、 14、
15、 16、 17、
三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
18、（本小题满分14分）

19、（本小题满分14分）

20题

20、（本小题满分14分）

21题
21、（本小题满分15分）

22、（本小题满分15分）

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考试题
数学（理科）答案及评分标准
一、选择题：BCADB BCACD
二、填空题：11 12 13 14
15 16 17 30
三、解答题c
18（Ⅰ）
……………………
的最大值为……………………分
要使取最大值，
故的集合为 ……………………分
注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.
（Ⅱ）由题意，，即
化简得……………………分
，，只有，…………………分
在中，由余弦定理，……………分
由知，即，当时取最小值……………分
注：不讨论角的范围扣1分.
19（Ⅰ）在中，取，得，又，，故同样取可得……………………分
由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分
注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.
（Ⅱ）在中令得……………………分
又，与两式相减可得：，，即当时，
经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分
.

相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分
可见，，……………………12分
经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分
20（Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；…………2分
是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分
而在平面外，所以∥平面……6分
注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.
（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………10分
于是，∽
…………12分
即…………14分
注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.
（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则在平面中,，
向量
设平面的法向量，则由
即
得……………………9分
在平面中,，向量
设平面的法向量，由
得……………………12分
平面平面，，即……………………14分
注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.
图1
21、（I）由题意，，
∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,
∴曲线C的轨迹方程是.………………分

（II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则
由与⊙O相切得 即
①……………7分
由，消去得，,
设，，则由韦达定理得
，……………………9分
图2

②……………………10分
由于其中一条切线满足，对此
结合①式可得…………………………………………12分
于是，对于任意一条切线，总有，进而
故总有. …………………………………………14分
最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为
代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有.
综上所述，命题成立. …………………………………………15分

22、（I）的定义域为
…………………………..………..…….2分
①时，的增区间为，减区间为
②时，的增区间为，减区间为
③时，减区间为
④时，的增区间为，减区间为…………6分

（II）由题意

又：…………………………..…………….9分
（）在上为减函数
要证,只要证
即, 即证……………....…….13分
令 ，
在为增函数

，即
即
得证………………………..………15分

13
用心 爱心 专心