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第三章章末综合检测
(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)
(检测范围：第三章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第一象限角，tan α＝，则sin α等于 ( )
A. B.
C．－ D．－
解析 B 由
得sin α＝.
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析 A sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B
＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，
又sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．
3．函数y＝2cos2－1是 ( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 A ∵y＝cos＝sin 2x，∴T＝π，且为奇函数．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acos B＋bcos A＝csin C，S＝，则∠B＝ ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 B 根据正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，即sin(A＋B)＝sinC＝sin2 C，所以sinC＝1.即C＝90°.由S＝得bcsinA＝，即sinA＝＝cosA，即tanA＝1，所以A＝45°，所以B＝45°，故选B.
5．函数y＝12sin＋5sin的最大值是 ( )
A．6＋ B．17
C．13 D． 12
解析 C y＝12sin＋5cos
＝12sin＋5cos
＝13sin，故选C.
6．函数y＝lg的单调增区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 C 由题意知sin>0，则2kπ<－2x<2kπ＋π，k∈Z，
即－kπ－π<x<－kπ＋，k∈Z. ①
函数的单调增区间即为y＝sin的单调减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
即kπ＋π<x≤kπ＋π，k∈Z， ②
由①②知，kπ－π<x<kπ－，k∈Z.
7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．2 km B．3 km
C．3 km D．2 km
解析 B
如图，由条件知AB＝24×＝6.
在△ABS中，∠BAS＝30°，
AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.
由正弦定理知＝，
所以BS＝＝3.故选B.
8．(2013·武汉模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析 D ∵∴
∵T＝，∴ω＝＝4.∴y＝2sin(4x＋φ)＋2.
∵x＝是其对称轴，∴sin＝±1.
∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)．∴φ＝kπ－(k∈Z)．
当k＝1时，φ＝，故选D.
9．△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上均有可能
解析 A 由题意可知c>a，c>b，即角C最大．所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2<ca2＋cb2，即c3<ca2＋cb2，所以c2<a2＋b2.根据余弦定理得cos C＝>0，所以0<C<，即三角形为锐角三角形，故选A.
10．(2013·西安模拟)下列命题正确的是 ( )
A．函数y＝sin在区间内单调递增
B．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期为2π
C．函数y＝cos的图象是关于点成中心对称的图形
D．函数y＝tan的图象是关于直线x＝成轴对称的图形
解析 C 对于A，当x∈时，2x＋∈，函数y＝sin在内不单调；对于B，y＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故最小正周期为π；对于C，当x＝时，y＝cos＝0，故C正确；D显然错误．
11．函数y＝sin在区间上的简图是 ( )
解析 A 令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
12．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 ( )
A．1 B.
C．1或 D．1或10
解析 C tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .
解析 ∵＝＝3，
∴tan α＝2，
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝
＝＝.
【答案】
14.
(2013·黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝ .
解析 由图象可得最小正周期为.
所以f(0)＝f，注意到与关于对称，
故f＝－f＝.
【答案】
15．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为 ．
解析 由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，
得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
又∵ab＝4，∴S△ABC＝absin C＝×4×sin 60°＝.
【答案】
16．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.
解析 轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．
【答案】 5
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知sin＝，<α<.
(1)求cos的值；
(2)求sin α的值．
解析 (1)∵sin＝，且<α<，
∴0<α－<，∴cos＝.
(2)sin α＝sin＝sincos＋cossin＝.
18．(12分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解析 ∵lg sin B＝lg，∴sin B＝，
∵B为锐角，∴B＝45°.又∵lg a－lg c＝lg，∴＝.
由正弦定理，得＝，
∴sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．
解析 (1)因为＝，＝，
所以sin C＝cos C．所以tan C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为·＝||·||cos C＝ab＝4，
所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.
所以c的值为2.
20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，试写出变换过程．
解析 (1)由题图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2.将点代入f(x)的解析式，得sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
21．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求y＝2sin2B＋cos的值域．
解析 (1)由m∥n得(2b－c)·cos A－acos C＝0.
由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0.
所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
即2sin Bcos A－sin B＝0.
因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，cos A＝，
所以A＝.
(2)y＝2sin2B＋coscos 2B＋sinsin 2B
＝1－cos 2B＋sin 2B
＝sin＋1.
由(1)得0<B<，
所以－<2B－<，
所以sin∈，所以y∈.
22．(14分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象过点.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解析 (1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)的图象过点，
∴－1＝sin，
∴φ＋＝2kπ－(k∈Z)，
又φ∈(－π，0)，∴φ＝－.
∴f(x)＝sin.
(2)由题意，T＝＝π，由(1)知f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得增区间为(k∈Z)．
(3)f(x)在[0，π]上的图象如图：
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