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海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（理科）
学校___________ 班级姓名成绩 ___
本试卷共100分,考试时间90分钟.
一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，且，则的值为（）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2.曲线在点处的切线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3.函数在其定义域内可导，其图象如右图所示，
则导函数的图象可能为（）
4.观察下列各等式：，，，…，则的末四位数字是（）
A. 3125 B. 5625 C. 8125 D. 0625
5.已知下列命题：
①；
②三角形的三个内角满足；
③存在等比数列满足成立.
其中所有正确命题的序号是（）
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
6.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则容器中水的高度与时间的函数关系图象是（）
7.若函数有三个零点，分别为，且满足，，，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
8.已知正方体的棱长为1，是截面内（包括边界）的动点，则的值不可能是( )
A． B．
C． D．
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
9.已知三个点在同一条直线上，则.
10.若函数是R上的单调增函数，则实数的取值范围_____________.
11.由曲线和直线围成的封闭区域的面积为________.
12.如图所示，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，且.若点为中点，则与底面所成角的余弦值为____________.
13.若函数，给出下面四个结论：①是的极大值，是的极小值；②的解集为；③没有最小值，也没有最大值；④有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有__________________.
14.已知函数,构造如下函数序列:（，且）,其中，，则_____________________，函数的值域为__________________.
三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.（本小题共10分）
已知函数其中，且曲线在点处的切线斜率为3.
（I）求的值；
（II）若函数在处取得极大值，求的值.
16.（本小题共10分）
已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a (a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，….
（I）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；
（II）设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．
17.(本小题共12分)
已知平面⊥平面，其中为矩形，//，，且，，如图所示.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.
18.（本小题共12分）
已知函数.
（I）当时，判断函数零点的个数；
（II）求函数的单调区间.
海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9．， 10． 11． 12．
13．①②④ 14．； （每空2分）
三、解答题：本大题共4小题，共44分.
15.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） ………………2分
由题意 ………………4分
（Ⅱ）由函数在处取得极大值
解得或 ………………6分
①当时，
1
3
+
0
0
+
极大值
极小值
由上表知，函数在处取得极大值，符合题意 ………………8分
②当时，
1
+
0
0
+
极大值
极小值
由上表知，函数在处取得极小值，不符合题意.
综上所述，若函数在处取得极大值，的值为1. ………………10分
16.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意，当时， ………………2分
（Ⅱ），，，
，， ………………4分
推测 ………………6分
方法一
证明：对于任意，
……………….9分
又是以为首项，以为公比的等比数列.
故 ………………10分
方法二
下面用数学归纳法证明：
① 当， 成立 ……….………………7分
② 假设当时，成立，即，
则
，
所以成立. …………..…….9分
由①②可知，数列的通项公式为 ……………10分
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：平面平面，交线为
由已知可得且平面
平面 ……………2分
又
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
，，，
所以，有，
， ………………4分
（Ⅱ）由已知可得，
所以平面的一个法向量为 ………………5分
设平面的法向量为，则有
，不妨令，
所以平面的一个法向量为. ……………7分
.
由已知可得所求二面角的余弦值为………………………………9分
（Ⅲ）设，，
设平面的法向量为，则有
，不妨令，则
平面的一个法向量为, ………………11分
由，解得，不符合题意,
即线段上不存在点，使得∥平面 ………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为 , ………………1分
当时，， ………………3分
+
0
极大值
因为，所以，此时，在定义域上，
所以函数的零点个数为0. ………………………………………………….6分
（Ⅱ） , ………………8分
①当时,
+
0
极大值
… ………9分
②当时,
+
0
0
+
极大值
极小值
……..10分
③当时，对恒成立,且仅当时
所以，函数的单调递增区间是. ……………11分
④当时
+
0
0
+
极大值
极小值
…12分
综上，
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
说明：本题第二问不列表也可以。
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