基于子空间压缩的线性离散码设计.doc

基于子空间压缩的线性离散码设计摘要：本文提出一种基于格拉斯曼子空间压缩理论的有限反馈线性离散码(LDCs)码本设计方法。文章首先推导了有限反馈LDCs系统的SVD分解与经典的BLAST系统SVD分解之间的联系。在经典的BLAST最优压缩的基础上，通过简单的数学变换，映射到最优的有限反馈LDCs码本。本文所提出的设计方法，可以保证有限集中的最小距离最大化。数值仿真表明：对22 MIMO系统，如果反馈比特为4，所提方案与最优预编码码本表现出相近的性能；相比于随机搜索码本，表现出明显的性能增益。关键词:线性离散码，码本设计，子空间压缩，有限反馈，多天线Design for Linear Dispersion Codes Based on Subspace PackingAbstract: A new method to design codebook is proposed for Linear Dispersion Codes (LDCs) systems with limited feedback. The extended codebook design method is introduced based on Grassmannian subspace packing and a mapping function, which is derived from the relationship between SVDs of the classical multiplexing systems and the LDC systems. Our proposed codebook can guarantee the maximum min-distance of the finite set. Simulation results show that, for 22 MIMO systems, if the feedback bit number is 4, the proposed codebook shows the similar performance to the optimal precoding codebook and has substantial performance advantage against the random search codebook.Key words: Linear Dispersion Codes, codebook design, subspace packing, limited feedback,MIMO1. 引言线性离散码(Linear Dispersion Codes，LDCs)最早由Hassibi和Hochwald1于2002年提出。这种新型空时编码方案使用一系列基矩阵，将待发射符号在同一个空时块内线性扩展并加权叠加。最初的LDCs系统中基矩阵的设计主要是基于2随机生成和计算机搜索得到的，不能很好地保证分集增益。为了更好地提高LDCs系统的性能，随后的文献3研究基于帧理论(frame theory)的LDCs基矩阵设计方法与理论分析。文献4提出一种基于LDCs的预编码技术(Dispersive Covariance Codes,DCCs)。DCCs系统联合容量准则和误码率准则，利用信道的统计信息来设计预编码矩阵，以提高系统的分集度。另一方面，有限反馈系统在一定的反馈开销条件下，可以有效地提高系统的BER性能，因而成为目前MIMO系统研究的热点之一。文献5则将有限反馈系统引入LDCs系统中，并且提出一种基于随机搜索(Random search)的码本设计准则。然而，由于其码本设计的局限性，只能保证码本在初始集中的局部最优，因而不能保证良好的系统性能。本文针对有限反馈LDCs系统，提出一种基于格拉斯曼子空间压缩的(Grassmannian Subspace Packing)码本设计方法。根据格拉斯曼子空间压缩理论，我们可以构造出一个有限的子空间集合，使得该集合内的所有元素之间的最小距离最大化。本文将该理论用于在有限反馈系统中的LDCs码本设计问题。本文首先简要论述了有限反馈LDCs系统的数学模型，推导了有限反馈LDCs系统的SVD分解与经典的BLAST系统SVD分解之间的联系。在经典的BLAST最优压缩的基础上，通过简单的数学变换，映射到最优的有限反馈LDCs码本。我们所提出的设计方法，可以保证有限集中的最小距离最大化。数值仿真表明：对22 MIMO系统，如果反馈比特为4，所提方案与最优预编码码本表现出相近的性能；相比于随机搜索码本，表现出明显的性能增益。本文的结构安排如下：第2节简要介绍有限反馈LDCs系统的数学模型，并给出全文的基本假设；第3节介绍基于子空间压缩的码本设计方法，第4节通过计算机仿真，比较分析了本文所提方案与已有方案的性能；第5节是本文的结论部分。2. 有限反馈LDCs系统考虑一个具有个发射天线和个接收天线的MIMO通信系统，假设系统在个时隙内并行地发送个星座图符号。在本文中，我们只考虑方形矩阵，即。假设天线之间的信道是非相关平坦瑞利衰落，且信道在一个发射空时块内保持恒定，块间统计独立。令为从特发送的星座图符号集，表示基矩阵集合3，其大小为。且基矩阵集合预先储存于收发两端。假设星座图符号的统计特性为：且。式中表示数学期望。基矩阵满足功率归一化约束条件：(1)则发射符号所对应的空时编码块可表示为:(2)发射信号经过无线衰落，在接收端进行匹配滤波和采样后，将个接收天线在个时隙内的信号级联成矩阵，表达为：(3)式中，为加性高斯白噪声，其大小为，且其分布为，为功率因子。定义符号向量。式中表示矩阵转置。类似文献4，将上式修改成更为简洁的形式：(4)式中，,。线性变换矩阵 (LTM) 定义为：，其中表示克罗内科积。为了得到最优的LTM，我们采用SVD分解的办法来分析。(5)式中，表示矩阵的共轭转置。文献2推导出的最优预编码可表示为：(6)式中，是由矩阵前列构成的新矩阵。考虑到最优矩阵需要极大的反馈信息量，会给通信系统带来额外的负担，文献5提出基于LDCs的有限反馈系统。其中由若干个LTM构成的有限集表示为：(7)即为所谓的码本。首先，接收机通信导频信道估计无线衰落信息。本文中假设接收端可以完全准确地估计信道信息。然后，接收机按照某一准则从码本中挑选出一个“最优”的码字，做为发射时使用。如文献5所述准则为：最小奇异值准则（Minimum Singular Value Selection Criterion，MSV-SC）(8)式中，为矩阵的最小奇异值。3. 码本设计码本设计是有限反馈系统中最重要的研究课题之一。文献2给出了在复用系统或者波束成形系统中有限反馈码本的设计方法，然而由于LDCs的特殊性，这些方法都不能直接应用于LDCs系统。文献5提出一种基于随机搜索的码本设计方法，但它只能保证局部最优。本章我们将提出一种基于格拉斯曼子空间压缩理论的LDCs码本设计方法。首先，我们将讨论LDCs与BLAST系统的SVD分解之间的映射关系。两个系统的SVD分解表示为：(9)(10)定义：(11)以及：(12)两个酉矩阵定义为：(13)(14)(15)(16)式中，和为列矢量。再定义置换矩阵(17)式中，表示大小为MN的全零矩阵。则由上述列矢量构造的扩展列矢量由以下公式生成：(18)引理：如果，则LDCs与BLAST系统的SVD分解之间的映射关系，可表示为如下公式：(19)(20)(21)上述引理证明如下通过上述的构造矩阵，我们定义：(22)显然，与都是酉阵。由SVD的性质：如果，与都是满秩矩阵。则有如下式：(23)且：(24)显然：(25)(26)式中，(27)将式和代入式，有：(28)由于满秩矩阵SVD分解的唯一性可知，引理性质中的三公式成立。基于LDCs与BLAST系统SVD分解的映射关系，我们可以有如下的码本构造方法。定义公式和式中与的关系为：(29)那么经过上述映射关系后，经典的BLAST系统的预编码矩阵设计方法，就可以映射到LDCs系统。一般地，码本设计问题2抽象到数学上就是格拉斯曼子空间压缩问题6。最优码本可以由最优压缩空间来构造，但一般的最优码本的寻找都非常困难。研究人员提出了很多次优化的搜索方法7, 8。类似文献7，我们以如下程序来构造出所需要的LDCs码本：(30)式中，且：(31)式中，。我们定义最小距离函数：(32)和优化变量集合(33)其中，。目标函数即在搜索所有优化变量集合中，使得最小距离最大化：(34)最终的LTM构造为：(35)在集合中两个不同元素的距离可以表示为：(36)集合中所有元素的最小距离表示为：(37)由于是对的最优码本，所以是对的最优码本。基于子空间压缩的码本设计，保证了各个码字之间的最小距离最大化，即在码字数目有限的情况下，使得所有码字在子空间内尽量均匀地分布。对于各态历经的高斯衰落信道，可以保证对各个不同的信道环境，都能有较优的码字与之匹配，可以保证系统在统计意义下的性能最优。4. 仿真与分析为了评估我们所提构造算法的有效性，我们将从容量与BER角度来比较码本的性能。在我们的仿真中，Nr=Nt=T=2, Q=2，SNR定义为：SNR=Es/N0。图1给出了子空间压缩码本（subspace packing codebook，SPC），最优预编码码本（optimal precoding，OPC）2以及随机搜索码本(random search codebook, RSC)5之间的BER性能比较。对有限反馈系统，码字数目的取值分别为：L=4, 8, 16。从图中可以看出，如果L4，SPC的性能劣于RSC。这是因为子空间压缩码本搜索是基于大码字数量的前提下提出的，对于L4的小码字集合性能并不理想。但是，如果L取值较大，如8或者16时，SPC的性能远优于RSC。例如，如果L8，当BER达到10-4，SPC相比于RSC具有2dB左右的性能增益。另外，L16时，SPC的性能已经与OPC的性能接近。但OPC由于是最优预编码，需要极大的反馈信息量。图1 子空间压缩码本与随机搜索码本的BER 性能类似地，我们还仿真了容量截断概率性能曲线。如图2所示，依然可以得到如前类似的结论。图2 子空间压缩码本与随机搜索码本的容量截断概率我们还仿真了理论容量之间的对比关系。图3比较了上述三种码本的容量，依然可以得到类似上述的结果。对于反馈比特为8或者16时，SPC具有与OPC接近的容量；相比于RSC，其增益约为1.5dB。图3 子空间压缩码本与随机搜索码本的容量对比5. 结论本文提出一种基于格拉斯曼子空间压缩理论的有限反馈LDCs码本设计方法。文章推导了有限反馈LDCs系统的SVD分解与经典的BLAST系统SVD分解之间的联系。在经典的BLAST最优压缩的基础上，通过简单的数学变换，映射到最优的有限反馈LDCs码本。我们所提出的设计方法，可以保证有限集中的最小距离最大化，即所有码字在子空间中的分布尽量均匀化。数值仿真表明：对22 MIMO系统，如果反馈比特为4，所提方案与最优预编码码本表现出相近的性能；相比于随机搜索码本，表现出明显的性能增益。参考文献1H. B and H. B. M, High-rate codes that are linear in space-time, IEEE Trans. on Information Theory, vol. 48, no. 7, pp. 1804-1824, 2002.2D. J. Love and R. W. H. Jr, Limited Feedback Precoding for Spatial Multiplexing Systems, presented at IEEE GLOBECOM 2003, 2003.3R. W. Heath and A. J. Paulraj, Linear dispersion codes for MIMO systems based on frame theory, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 10, pp. 2429-2441, 2002.4R. Hayes, Jr. and J. Caffery, Jr. , Dispersive covariance codes for MIMO precoding, presented at Global Telecommunications Conference, 2005. GLOBECOM 05. IEEE, 2005.5D. Deng, J.-K. Zhu, and L. Qiu, Linear Dispersion Codes with Limited Feedback, IEICE Trans. on Communications, vol. E90-B, no. 7, 2007.6J. H. Conway, R. H. Hardin, and N. J. A. Sloane, Packing Lines, Planes, etc., Packings in Grassmannian Spaces, Experimental Mathematics, vol. 5, pp. 139-159, 1996.7M. Hajiaghayi and C. Tellambura, Unitary Signal Constellations for Differential Space-Time Modulation, IEEE Communications Letters, vol. 11, no. 1, pp. 25-27, 2007.8S. Sanayei, D. J. Love, and A. Nosratinia, On the design of linear precoders for orthogonal space-time block codes with limited feedback, presented at Wireless Communications and Networking Conference, 2005 IEEE, 2005.8