世界三大数学猜想.doc

费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜（已证成立）
发现
　　费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
　　对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍对费马大定理一筹莫展。
奖励
　　德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
　　莫德尔猜想
　　1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章．获得1982年菲尔兹奖
　　伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就学于内斯涛德教授门下学习数学．1978年获得博士学位．他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔的教授．他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何．
　　1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0．
　　后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了．因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点．
　　数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的．　1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事．”
　　对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，‘这就太棒了’(或者‘这就太顺利了’)．有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它．但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言．绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”．它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示．
　　然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法．在伐尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义．
　　这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了．　所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合．
　　令F(x，y，z)为d次齐次多项式，其中d为f(x，y)的次数，并使F(x，y，1)=f(x，y)，那么f(x，y)的亏格g为
　　g≥(d-1)(d-2)/2
　　当f(x，y)没有奇点时取等号．
　　费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为(n-1)(n-2)/2．当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件．因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解．
　　为什么猜想中除去了f(x，y)的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y)的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由．
　　d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解．
　　d=2时，f(x，y)可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解．我们从几何上来论证这一点．设P是f(x，y)解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线(见上图)．对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R．当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y)的K—解的无穷集合．例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解：
　　当F(X，Y，Z)为三次非奇异(即无奇点)曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线．我们可用几何方法做出一个解的无穷集．但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的．虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇．研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心．
　　伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识．　莫德尔猜想有着广泛的应用．比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个
有限组互质
　　1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。Gerhard Frey
　　1986年，Gerhard Frey 提出了“ ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
编辑本段怀尔斯和泰勒
　　1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。怀尔斯　怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。
　　n=3　欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。
　　n=4　费马自己证明了n=4的情形。
　　n=5　1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
　　n=7　1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
　　对于所有小于100的素指数n　库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
谷山——志村猜想
　　1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。
　　谷山——志村猜想和费马大定理之间的关系　
　　1985年，德国数学家弗雷指出了谷山——志村猜想”和费马大定理之间的关系；他提出了一个命题 ：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。
弗雷命题
　　1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。
谷山——志村猜想”成立
1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理” 。

来源
1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的".但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于6的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。 但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。 1+2现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

小史
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。也没有任何实质性进展。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史（详见哥德巴赫猜想传奇词条）。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：任何大于特定大偶数N的偶数都可以表示为两个殆素数之和的形式，且这两个殆素数只拥有最多9个素因子。（所谓"殆素数"就是素数因子(包括相同的与不同的)的个数不超过某一固定常数的奇整数。例如，15＝3×5有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子。）此结论被记为“9+9”。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从“9十9”开始，逐步减少每个怠素数里所含素因子的个数，直到使每个殆素数都是奇素数为止。值得注意的是，考虑到条件“大于特定大偶数N”，利用这种方法得出的结论本质上有别于哥德巴赫猜想。 目前“最佳”的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的500000次方，即在1的后面加上500000个“0”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在《阿基米德的报复》一书中的35页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。

哥德巴赫猜想研究（证明）进度相关
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
现在互联网上关于歌德巴赫猜想的讨论，只有很少一部分是就这个问题本身，而很大一部分是对相关的人的看法，认为当年陈景润院士的成果有争议，甚至更加骇人听闻，说陈景润的成果是假的。为了拨云见日，客观公正地对待历史，就此进行探讨。 一、陈景润与【1+2】 一种观点认为，陈景润对【1+2】的证明过程不对。虽然互联网上信息庞杂，但是明眼人一眼就能看出，很多信息其实都是从一个地方发出的，只不过被很多人转帖了。那么，这种观点是谁提出来的？来源不外乎二个：一是《中华传奇》上一篇《歌德巴赫猜想传奇》“一。陈景润证明的不是哥德巴赫猜想 陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第118页（辽宁教育出版社）写道：陈景润定理的“1+1”结果，通俗地讲是指：对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立：“ N=P'+P" (A) N=P1+P2*P3 (B) 当然并不排除(A)(B)同时成立的情形，例如62=43+19，62=7+5X11。” 众所周知，哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数（A)式成立，【1+2】是指对于大于10的偶数（B)式成立， 两者是不同的两个命题，陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈，并在申报奖项时偷换了概念（命题），陈景润也没有证明【1+2】，因为【1+2】比【1+1】难得多。” 二是《阿基米德的报复》上的一段话。《中华传奇》是茶余饭后消遣的通俗小说杂志，《阿基米德的报复》大概是科普读物。这样两本书上的观点，却被奉为真理。首先声明，我不懂数学，但是可以肯定，陈景润的论文发表前经过多次审查，我个人认为，当时没有人有这个胆子，文革快要结束了还敢放卫星造假，更重要的是，很多人爱拿国家说事，【1+2】是得到国际公认的，陈景润后来专程出了国，还作了报告，欧美的数学家都认可的。【1+2】发表至今，还没有一个知名数学家或组织反对，数学界一致认为是正确的，但随时间推移，可能有要改进的地方。这事能造假得了吗？ 二、陈景润与歌德巴赫猜想 还有一种观点认为，陈景润证明的不是歌德巴赫猜想，申报国家科学奖是偷换概念。认为陈景润使用错误概念，下面是内容：“ （二）。 陈景润使用了错误的推理形式 陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”：或者A，或者B，A，所以或者A或B，或A与B同时成立。 这是一种错误的推理形式，模棱两可，牵强附会，言之无物，什么也没有肯定，正如算命先生那样“：李大嫂分娩，或者生男孩，或者生女孩，或者同时生男又生女（多胎）”。无论如何都是对的，这种判断在认识论上称为不可证伪，而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式：或者A，或者B，非A，所以B。相容选言推理有两条规则：1，否认一部分选言肢，就必须肯定另一部分选言肢；2，肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱，缺乏基本的逻辑训练。 （三）。 陈景润大量使用错误概念 陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是：精确性，专义性，稳定性，系统性，可检验性。“殆素数”指很像素数，拿像与不像来论证，这是小孩的游戏。而“充分大”，陈指10的50万次方，这是不可检验的数。” 【1+2】是不是歌德巴赫猜想？不是！因为小学生都知道，歌德巴赫猜想是指【1+1】，【1+2】只是【1+1】的推论。但是，有谁说过“陈景润证明了歌德巴赫猜想”？经查，国家科学奖上明明写着：获奖项目：歌德巴赫猜想研究。“研究”不是“证明”，“猜想”不是“定理”，意思不用我说。【1+2】和歌德巴赫猜想有关系吗？当然有！【1+2】就是“歌德巴赫猜想研究”已取得的最高成果。陈景润虽然没能摘到歌德巴赫猜想这颗明珠，但他使距离更近了一步。 三、陈景润与媒体宣传 据报道，著名数学家丘成桐说陈景润是被媒体夸大了，还说美国没人搞歌德巴赫猜想。丘成桐个人如何我不评价，但不管有没有人搞，歌德巴赫猜想可能现实应用性小，难度是不容质疑的，而且是重要的。那么，陈景润是不是被媒体夸大了？“ （四）。陈景润的结论不能算定理 陈的结论采用的是特称（某些，一些），即某些N是(A)，某些N是（B)，就不能算定理，因为所有严格的科学的定理，定律都是以全称（所有，一切，全部，每个）命题形式表现出来，一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系，适用于一种无穷大的类，它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论，连概念都算不上。 （五）。陈景润的工作严重违背认识规律在没有找到素数普篇公式之前，哥氏猜想是无法解决的，正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清，事物质的规定性决定量的规定性。” （我个人认为，陈景润事迹的报道处在一个特殊的历史时期，当时国家需要树立重视科学的模范，在别的情况下也许不会这样家喻户晓。所以，的确有政治因素。但是判断历史的是非应该看它所起的作用。报道陈景润的成果是正确的，事迹是真实的，而且对当时的人们起了激励作用，所以我认为，只能说陈景润的影响被媒体“扩大”了，不是“夸大”了。 四、结语 质疑的人中，除了一部分是本身对歌德巴赫猜想不理解，人云亦云，一部分 是吃不到葡萄就说葡萄酸，可能很多人被学术造假搞怕了。现在的很多“学术研究”，确实有暗箱操作，见不了阳光。正因为这样，才应该提倡陈景润这种埋头苦干、尊重科学的做法，而不是不学无术、搬弄是非。 悲哀！实际上我们缺少的不是歌德巴赫猜想，而是陈景润。

意义
一件事物之所以引起人们的兴趣，因为我们关心他，假如一个问题的解决丝毫不能引起人类的快感，我们就会闭上眼睛，假如这个问题对我们的知识毫无帮助，我们就会认为它没有价值，假如这件事情不能引起正义和美感，情操和热情就无法验证。 哥德巴赫猜想是数的一种表现次序，人们持久地爱好它，是因为如果没有这种次序，人们就会丧失对更深刻问题的信念——因为无序是对美的致命伤，假如哥德巴赫猜想是错误的，它将限制我们的观察能力。使我们难以跨越一些问题并无法欣赏。一个问题把它无序的一面强加给我们的内心生活，就会使我们的感受趋向丑陋，引起自卑和伤感。哥德巴赫猜想实际是说，任何一个大于3的自然数n.都有一个x, 使得n+x与n-x都是素数，因为，（n+x)+(n-x)=2n.这是一种素数对自然数形式的对称，代表一种秩序，它之所以意味深长，是因为素数这种似乎杂乱无章的东西被人们用自然数n对称地串联起来，正如牧童一声口稍就把满山遍野乱跑的羊群唤在一起，它使人心晃神移，又像生物基因DNA，呈双螺旋结构绕自然数n转动，人们从玄虚的素数看到了纯朴而又充满青春的一面。对称不仅是视觉上的美学概念，它意味着对象的统一。 素数具有一种浪漫的气质，它以神秘的魅力产生一种不定型的朦胧，相比之下，圆周率，自然对数。虚数。费肯鲍姆数就显得单纯多了，欧拉曾用一个公式把它们统一起来。而素数给人们更多的悲剧色彩，有一种神圣不可侵犯的冷漠。当哥德巴赫猜想变成定理，我们可以看到上帝的大智大慧，乘法是加法的重叠，而哥德巴赫猜想却用加法将乘性概括。在这隐晦的命题之中有着深奥的知识。它改变人们对数的看法：乘法的轮郭凭直观就可以一目了然，哥德巴赫猜想体现一种探索机能，贵贱之别是显然的，加法和乘法都是数量的堆积，但乘法是对加法的概括，加法对乘性的控制却体现了两种不同的要求，前者通过感受可以领悟，后者则要求灵感——人性和哲学。静观前者而神往于它的反面(后者），这理想的境界变成了百年的信仰和反思，反思的特殊价值在于满足了深层的好奇，是一切重大发现的精神通路，例如录音是对发音的反思结果，磁生电是对电生磁的反思结果。。。。顺思与反思是一种对称，表明一种活力与生机。顺思是自然的，反思是主动的，顺思产生经验，反思才能产生科学。顺思的内容常常是浅表的公开的，已知的。反思的内容常常是隐蔽的，未知的。反思不是简单的衷情回顾不是对经验的眷念，而是寻找事物本质的终极标准——-对历史真相或事物真相的揭示。 哥德巴赫猜想为什么会吸引人？世界上绝对没有客观方面能打动人的事物和因素。一件事之所以会吸引人，那是因为它具有某种特质能震动观察者的感受力，感受力的大小即观察者的素质。感人的东西往往是开放的。给人以无限遐思和暗示。哥德巴赫猜想以一种表面开朗简洁的形式掩盖它阴险的本质。他周围笼罩着一种强烈的朦胧气氛。他以喜剧的方式挑逗人们开场，却无一例外以悲剧的形式谢幕。他温文尔雅地拒绝一切向她求爱的人们，让追求者争风吃醋，大打出手，自己却在一旁看着一场有一场拙劣的表演。哥氏猜想以一种抽象的美让人们想入非非，他营造一种仙境，挑起人们的欲望和野心，让那些以为有点才能的人劳苦、烦恼、愤怒中死亡。他恣意横行于人类精神的海洋，让智慧的小船难以驾驭，让科研的‘泰坦尼克’一次又一次沉没。。。 人类的精神威信建立在科学对迷信和无知的胜利之上，人类的群体的精神健康依赖于一种自信，只有自信才能导入完美的信念使理想进入未来中，完美的信念使人生的辛劳和痛苦得以减轻，这样任何惊心动魄的灾难，荡气回肠的悲怆都难以摧毁人的信念，只有感到无能时，信念才会土崩瓦解。肉体在空虚的灵魂诱导之下融入畜类，人类在失败中引发自卑。哥德巴赫猜想的哲学意义正在如此。

四色定理
四色定理是一个著名的数学定理。它指出，如果将平面分成一些邻接的区域，那么可以用不多于四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的四色圆盘中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是临界区域。
尽管四色定理最初提出是和地图染色工作有关，但四色定理本身对地图着色工作并没有特别的意义。据凯尼斯·梅在一篇文章中所言：“（实际中）用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。制图学和地图制图史相关的书籍也没有四色定理的记载。”
一些简单的地图只需要三种颜色就够了，但有时候第四种颜色也是必须的。比如说当一个区域被三个区域包围，而这三个区域又两两相邻时，就得用四种颜色才行了。“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表了四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。
1977年，数学家凯尼斯·阿佩尔（英语：Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（英语：Wolfgang Haken）借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要由计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家对四色定理的证明存疑。
严格叙述
四色定理的通俗版本是：“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻国家染的颜色相同。”作为一个数学定理，四色定理有着更为严谨的数学叙述。
拓扑学阐述
最初的染色问题是用几何学的概念描述的。严谨的版本则需要用到拓扑学的概念来定义。设有一欧几里得平面或其一部分，将其划分为互不重叠的区域的集合。一个“地图”为以下划分方式[1]:44：
· 将平面划分为有限个区域，使得任意两个区域的交集是空集，所有的区域的并集是整个平面；
· 所有区域中，只有一个区域是无界区域，其余区域都是有界区域。
所谓有界区域，是指能够用一个长和宽都有限的矩形覆盖的区域。无界区域则是不能用这样的矩形覆盖的区域[1]:44。每个区域相当于通俗说法中的“国家”，而区域之间的边界（“国家”之间的“国界线”）则定义为连续不自交的简单曲线。连续简单曲线是指一个从[0, 1]映射到平面的连续函数的像集：，并且要满足：
任意，只要不是，就必定有
这样说明曲线不与自身相交（没有“打结”的地方）。如果，就称曲线为弧，否则称曲线为圈[1]:47。可以看出，用边界定义地图更为本质：
平面中的一张地图是指有限个简单曲线的集合：，其中，为[0, 1]映射到的连续函数。并且任意，曲线和要么没有交点（交集为空集），要么交点是两线的一个公共顶点[1]:60
中每一条连续简单曲线称为地图的边。任意边的端点称为顶点。可以说，一张地图实际上是由一个简单有界平面图定义的。定义了地图的边和顶点后，设所有属于边或定点的点为中性点，其集合设为，则 将其余的点划分为若干个道路连通的开集。用拓扑学的语言来说，每个“国家”是的一个极大连通子集。或者说，取一个非中性点，所有能够从，经过一条不含中性点的弧到达的点构成的集合，就是一个国家。这样定义的国家必然满足之前所说的特性，只有一个无界国家。要注意的是这里定义的国家必然是没有飞地的[1]:64。 最后可以定义染色。假设将使用到的颜色编号为号颜色，为地图染色是指一个将地图中的国家映射到上的函数。一个可行的n-染色方案是指使得相邻的国家对应的颜色不同的函数。四色定理说明：每个地图都存在可行的4-染色方案[1]:43。
图论阐述
拓扑学版本的四色问题阐述可以转化为更为抽象的图论版本。这里的转化指的是一种对偶的概念。即将一个地图转化为图论中的一个无向平面图。具体来说，是将地图中的每一个国家用其内部的一个点代表，作为一个顶点。如果两个国家相邻，就在两个顶点之间连一条线。这样得到的图必然是一个平面图（不会有两条边相交），而与每个国家选取的代表点无关。四色定理可以叙述为：必然可以用四种颜色给平面图的顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同[1]:118-122。

一个四个国家的地图转化为一个平面图

历史

德摩根写给哈密尔顿的信件，首次提到四色猜想。现存于都柏林三一学院。
这一定理最初是由法兰西斯·古德里（英语：Francis Guthrie）在1852年提出的猜想。法兰西斯·古德里于1831年生于伦敦。1850年，他在伦敦大学学院完成了他的数学学士学位后，又花两年时间修得法学学士学位[1]:2-3。1852年，古德里在绘制英格兰分郡地图时，发现许多地图都只需用四种颜色染色，就能保证有相邻边界的分区颜色不同。他将这个发现告诉了他的弟弟弗雷德里克·古德里。弗雷德里克这时正在伦敦大学学院读数学，师从法兰西斯上学时的老师奥古斯塔斯·德摩根[1]:2,5。10月23日，弗雷德里克将他哥哥的发现作为一个猜想向老师德摩根提出。德摩根对此猜想很感兴趣，在同一天就在通信中将这个问题向爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿提出。德摩根的信如今仍然保存在都柏林三一学院中[1]:7。与德摩根的热情相反，哈密尔顿对这个问题丝毫不感兴趣。他在三天后的回信中告诉德摩根，他“不会尝试解决这个四元颜色问题” [1]:5。

四色问题之所以能够得到数学界的关注，德摩根功不可没。他推动四色问题研究的工作如此尽力，许多人认为德摩根是首先提出这个猜想的。德摩根在接下来的两年里又尝试向别的数学家通信。他在1853年12月9日与1854年6月24日分别写信给他以前的老师威廉·魏巍尔以及魏巍尔的妹夫罗伯特·莱斯利·艾里斯，讨论四色问题。1860年4月，德摩根在《雅典娜杂志》上发表了对魏巍尔的新书书评，其中再次提到了四色定理。1854年古德里兄弟中的一人也曾在同一本杂志上发表过四色定理的文章[1]:11。
很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余（仅使用到欧拉-笛卡尔公式）。但是，直到1977年四色猜想才最终由凯尼斯·阿佩尔（英语：Kenneth Appel）和沃夫冈·哈肯（英语：Wolfgang Haken）证明。他们得到了J. Koch在算法工作上的支持。
证明方法将地图上的无限种可能情况归纳为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由电脑一个接一个进行检查，这一工作由不同的程序和电脑进行了独立的复检。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊情况。这一新证明也使用了电脑，如果由人工来检查的话是不切实际的。
计算机辅助证明

用四种颜色替中国大陆分省地图染色
四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。最终，人们必须对电脑编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。参见电脑协助证明。
主要是因为此证明缺乏数学应有的规范，以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”
实际应用
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。
另外需要注意的是四色定理的内容是对一个“已经画好的地图”进行着色，而不是“一个人画一块区域，另一个人随即挑选颜色着色，并反复进行”。后一种情形下是很容易出现四种颜色不够用的局面的。