课时作业48.doc

课时作业(四十八)
1．下列命题中，正确的是 (　　)
A．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体
B．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体
C．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
D．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台
答案　C
解析　A错，如球．B错，如平放的圆柱．C正确．D错．如正四棱台．
2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 (　　)

A．6　　　　　　　　　　　　 B．9
C．12 D．18
答案　B
解析　由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为

×(×6×3)×3＝9.
3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 (　　)

答案　D
解析　根据分析，只能是选项D中的视图．故选D.
4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
(　　)

A．2 B．1
C. D.
答案　C
解析　由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V＝×2××2×1＝.
5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 (　　)

答案　D
解析　被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．
6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)

答案　C
解析　空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.
7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为 和，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为 (　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S＝×1×＝，三棱锥的高为h＝，所以几何体的体积为V＝Sh＝××＝.
8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 (　　)

答案　A
解析　由作法规则可知O′A′＝，在原图形中OA＝2，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.
9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为 (　　)

A．上面为棱台，下面为棱柱
B．上面为圆台，下面为棱柱
C．上面为圆台，下面为圆柱
D．上面为棱台，下面为圆柱
答案　C
10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 (　　)

答案　C
解析　选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排除B、D；易知选项C符合．
11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为 (　　)

答案　B
解析　这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是，故其侧视图只可能是选项B中的图形．

12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．
答案　②④
解析　正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．
13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．

答案　4
14．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案　
解析　∵OE＝＝1，∴O′E′＝，E′F＝.
∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.

15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．

①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
答案　①③④⑤
解析　由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.
16．(2012·辽宁)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形．若PA＝2，则△OAB的面积为________．
答案　3
解析　如图所示，∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AC.
故可知PC为球O直径，则PC的中点为O，取AC的中点为O′，
则OO′＝PA＝.
又∵AC＝＝2，PA＝2，
∴PC＝＝4.
∴球半径R＝2，故OC＝OA＝OB＝2.
又∵AB＝2，
∴△OAB为等边三角形．
∴S△OAB＝×2×2×sin60°＝3.
17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．

(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．
解析　(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图，如图．

其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，则AD＝a.所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝×a×a＝a2.
18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解析　(1)该几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)(cm2)．所以几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．

1．(2012·安徽)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
答案　②④⑤
解析　

如图所示，四面体ABCD中，AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则△ABC≌△CDA≌△DCB≌△BAD，故②正确；
∵△ABC≌△CDA≌△BAD，
∴∠BAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB.
∴∠BAC＋∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，故③错；
取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，MQ，由此得，MN＝QP＝AC，NP＝MQ＝BD.
∵BD＝AC，∴MN＝QP＝MQ＝NP.
∴四边形MNPQ为菱形．
∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB，AC，AD可作为△ABC的三边．
2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 (　　)

答案　C
解析　结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．

3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是
(　　)

A．3 B．2
C．1 D．0
答案　A
解析　把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．
4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．

其中正确的是 (　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案　B
解析　根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．
5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是 (　　)

A．①② B．①③
C．②③ D．①④
答案　C
6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是 (　　)

答案　D
解析　通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.
7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (　　)

A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
答案　D
解析　因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.
8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)

答案　①③
9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解析　由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64；
(2)该四棱锥有两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4.
另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5，因此
S侧＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24.
10．已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出左视图的面积．
解析　(1)如右图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，
∴左视图中VA＝＝2.
∴S△VBC＝×2×2＝6.