学而思讲义1.doc

梅涅劳斯定理

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习题1.
【解析】 直线截三边于、、三点，应用梅氏定理，知，又因为，所以，即．
习题2.
【解析】 ∵截的三边、、或其延长线于、、三点，
∴．
∵，．
∴，∴．
∴，即．
习题3.
【解析】 ∵截的三边、、或其延长线于、、三点．
∴．
在平行四边形中，∵，∴．
∵，∴．
∴，即．
∴，即．
∵，∴，∴．
习题4.
【解析】 由题设，在中，，，由射影定理．对和截线，由梅涅劳斯定理，，即．所以．

习题5.
【解析】 ∵是的梅氏线，
∴．
∵为的中点，，
∴，．
∴，∴．
∵是的梅氏线，
∴，
∴，∴．
∴．
∴．
习题6. 　　　　
【解析】 作直线交于，
∵，．
∴．
∴．
同理，，
而
∴．
习题7.
【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，解得．

习题8.
【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，所以，所以．所以．
习题9.
【解析】 对和截线应用梅涅劳斯定理可得：，．
所以，进而．
所以．
习题10.
【解析】 ，即，所以．
因此，所以．
又因为，所以．
同理，．
进而可得．
习题11.
【解析】 注意到被所截，由梅涅劳斯定理可得.
于是．
注意到被所截，由梅涅劳斯定理可得.
因此可知，．
于是，
则．
故知阴影的面积．

习题12.

【解析】 如图，分别为三角形的三个外角平分线，分别交于．
过作的平行线，则，
所以是等腰三角形．则．
则有：．
同理；．
所以．
所以共线．
习题13.
【解析】 根据梅涅劳斯定理定理有：
，．
两条式子相乘有．
设，则，
如果，即，则，．
则，，
如果，即．显然的，、与都不平行．设与相交于点．
割，有，则．
所以．
所以、、三点共线．
习题14.
【解析】 证明：若，结论显然成立；
若与相交于点，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：

将上面四个式子相乘可得：．

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初二暑期·第8讲·联赛班·教师版