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第11章 三角形复习提纲
7.1.1与三角形有关的线段
类型一 三角形概念
题型1 与三角形有关的一些概念
题型2 确定三角形的个数
1.如图，图中有_____个三角形，把它们用符号分别表示为
题型3 三角形的分类
按边分类：等腰三角形、等边三角形、一般三角形
按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
类型二 三角形三边的关系
题型1 利用三边关系判断三角形的存在性
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A、3,4,8 B、5,6,11 C、1,2,3 D、5,6,10
2.有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由。
题型2 利用三边关系求范围
1.三角形有两条边的长度分别是5和7，则其周长x的取值范围是___________。
2.若三角形的两边长分别是3和6，第三边长是奇数，则第三边长为
3.一个三角形的周长是偶数，其中两条边分别是5和9，则满足上述条件的三角形个数是 个
题型3 应用三边关系化简与计算机相关的式子
1.已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|=_____________。
类型三 有关三角形边长的综合问题
题型1 有关边长的计算
1.三角形的三边是三个连续的自然数，且周长为18，求三角形的三边长？
题型2 等腰三角形中的相关问题
1. 若等腰三角形的两边长a、b满足∣a-3∣+（b-8）2=0，则它的周长是 。
2. 等腰三角形的周长为56，其中两边的比为3：2，求该等腰三角形的三边长？
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线
类型一 三角形的高、中线与角平分线的相关概念
1.三角形一边上的高（ ）。
A 必在三角形内部 B 必在三角形的边上 C 必在三角形外部 D 以上三种情况都有可能
2.一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。
3.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A 三角形的角平分线 B 三角形的中线 C 三角形的高线 D 以上都不对
4.如图，作图：（1）∠ACB的角平分线；（2）边AC的中线 （3）AB边上的高
A
C
B
5.利用三角形的中线，请你将图中的三角形的面积分成相等的四部分。

类型二 有关三角形的高、中线与角平分线的常见计算
题型1 根据高、中线等求线段的长
1.如图，AB⊥BD,AC⊥CD,那么（1）△ADE的边DE上的高为 ，边AE上的高为 ；
2.如图，在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD将△ABC分成周长
差为2cm的两个三角形，求△ABC的各边长
3.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，
(1) 求出△ABC的面积及 CD的长；
（2）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；
A
B
C
D
（3）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
B
A
B
D
E
C

题型2 根据高、中线等求面积
1.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△CDE的中线，FG是△CEF的中线。
（1）△ABD与△ADC的面积有何关系？理由？
（2）若△CFG的面积是1，求△ABC的面积
A
B
C
D
E
2.如图，AD=1,CD=2,AB=4且△ABC的面积是△CDE的2倍，求BE？
B
A
C
D
F
E
G

7.1.3 三角形的稳定性
类型一 三角形的稳定性
题型1 三角形的特性
1.右边图形具有稳定性的是（ ） A 梯形 B 菱形 C 三角形 D 正方形
题型2 根据稳定性的实际应用
1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是__________.
2.自由滑动的伸缩门，在启动电源后，大门能左右压缩或伸长的原理是
题型3 根据稳定性动手操作
1. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条。
7.2.1 与三角形有关的内角
类型一 与三角形有关的内角计算
题型1 求角度
1. 已知，如图，AB∥CD，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（ ）
A、 550 B、 700 C、 400 D、 1100
2. 如图 ，∠B=50°，∠C=60°，AD为△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
3. 已知：如图，AE∥BD，∠B=28°，∠A=95°，求∠C的度数。
A
D

C
B

4. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于F点. 若∠BAC=80°,∠B=40°,
求∠AEC和∠AFE的度数.

5.如图2，AB∥CD，AD和BC交于点O，若∠A＝42°，∠C＝51°，则∠AOB＝______度.
6.如图，AB∥CD，∠ABD、∠BDC的平分线交于E，试判断△BED的形状？
7.如图5，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，
求△BDE各内角的度数.
8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=
图5
图2

第8题图

题型2 根据角度对三角形进行分类
1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C， ②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=90°－∠B，
④∠A=∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （ A

B

C

M

N

）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2.下面说法正确的是个数有（　　）
①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
④在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；
⑥如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形； A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
3.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角
③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1, ∠ACD=64°证明：AB∥CD
5.如图，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 32°，求∠F的度数？
6.已知，如图，在△ ABC中，AD，AE分别是 △ ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°.
（1）求∠DAE的度数。 （2）试写出 ∠DAE与∠C-∠B有何关系?（不必证明）
7.⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。
（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。
（2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。

（3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。`
（4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。

（5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？

类型二 三角形内角和的实际应用
题型1 方位角问题
1.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB。

7.2.2 三角形的外角
类型一 与三角形有关的外角的计算
1.三角形的三个外角中，钝角最多有 个
2.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ 　　 ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 　 C.直角三角形 D.无法确定
3.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=80°,那么∠M=
A
B
C
D
1
2
4.如图,已知,，求证？
A
A
C
D
E
M

C
A
B
C
O
类型二 角的不等问题
1.如图，O是⊿ABC中一点，试比较∠BOC与∠A的大小

B
A
B
C
O
类型三 添加辅助线求角度的方法与技巧
1.如图，已知∠A=70°，∠B=30，∠C=20°求∠B0C的度数？

类型四 常见的与角平分线相关的一类问题
1.如图，BD是⊿ABC外角的角平分线，CD也是⊿ABC外角的角平分线，试探索∠A与∠D的大小关系？
2.如图，在⊿ABC中，∠ABC的角平分线与⊿ABC的外角∠ACD的角平分线相交与点E，试探索∠A与∠E的关系？
C
B
E
A
D
E
4
A
B
C
E
F
D

类型六 等腰三角形中内、外角的转换
1.等腰三角形的一个外角为100°，求这个等腰三角形的三个内角?
7.3.1 多边形
类型一 多边形及相关概念
1.过七边形的一个顶点，最多可以作 条对角线。
2.四边形有 条对角线，五边形有 条对角线，六边形有 条对角线，n边形有 条对角线
类型二 多边形在实际问题中的体现
1.造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________。
2.五个人参加会议，要求每两个人之间要握一次手，那么这五人共握 次手。
7.3.2 多边形的内角和
类型一 多边形的内角和与外角和
题型1 多边形的内角和 =（n-2）×180°
1.若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。
2.（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）。
A： 180° B： 360° C：n×180° D: n×360°
3.一个n边形的内角和为1800°，则n=
题型2 多边形的外角和360°
类型三 有关多边形内、外角和的综合应用
题型1 求边数
1.一个n边形的内角和与外角和的总度数为2160°，则n=
2.已知n边形的每个内角都相等，且一个内角等于与它相邻的外角的9倍，则n=
3.一个正多边形的一个外角与相邻的内角的度数比为1:4，则它的内角和是 ，它共有 条对角线。题型2 求角度
1.已知正多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的内角和=
7.4 镶嵌
类型一 平面镶嵌的条件
题型1 利用同一种多边形进行镶嵌
1.下列正多边形地砖中不能铺满地面的正多边形是（ ）。
A：正三角形 B：正四边形 C：正五边形 D：正六边形
题型2 利用多种多边形进行镶嵌
1.一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、
正四边形，则另一个为（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
2.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（ ）．A．3 B．4 C．5 D．6
例1：如图，，求的值。
变式：已知的和的平分线BE，CF交于点G。
求证：（1）； （2）
A
B
C
G
E
F
A
B
C

1

4
3
2

4.如图,在中，的平分线与外角的平分线交于点D，试说明
A
D
E
B
C

第十二章 全等三角形复习
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)
斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：
1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
第十二章 轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十五章 整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
＝ amn （m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（n为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0＝1 （a≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
负指数幂的概念：
a－p＝ （a≠0，p是正整数）
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．
也可表示为：（m≠0，n≠0，p为正整数）
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
 2、乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
 3、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
 二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
 2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2

第十三章 实数知识要点归纳
一、实数的分类：

2、数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，
实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
3、相反数与倒数；
4、绝对值

5、近似数与有效数字；
6、科学记数法
7、平方根与算术平方根、立方根；
8、非负数的性质：若几个非负数之和为零 ，则这几个数都等于零。
二、复习方案二
1. 无理数：无限不循环小数

第十四章 一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 ；
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．
2. 求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
4. 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．

十、一次函数与正比例函数的图象与性质
一　　次　　函　　数

　概　念
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
　图　像
一条直线
　性　质
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（1）k>0，b＞0； （2）k>0，b＜0；
（3）k>0，b＝0 （4）k＜0，b＞0；
（5）k＜0，b＜0 （6）k＜0，b＝0
一次函数表达式的确定
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
5.一次函数与二元一次方程组：
解方程组
从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并求出这

个函数值
解方程组

从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.