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面积与几何证明 华东师范大学数学系周青摘要:面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理本文对这个方法也做了简单的介绍关键词:面积法;出入相补原理;共边比例定理粗略地讲,一个平面区域的面积就是它的大小这里所讲的大小是有所指的古埃及的尼罗河每年夏天都会泛滥,到秋天尼罗河水退去,给两岸留下了肥沃的淤泥,也正是这一层淤泥使得精耕农业得以实现,支撑起古埃及的繁荣泛滥的洪水也冲毁了原有土地上所有的分界标记,所以水退了之后,人们就得重新规划田地这就要求计算土地的大小,它表明了在这块土地上能够种多少庄稼最自然的想法就是把一个区域剪开成若干小块,将这些小块重新组合之后恰好可以用来铺满另一个区域,我们就说这两个区域的面积相等这就形成了面积的概念当然,从逻辑上完全讲清楚面积的概念还是需要花费一番功夫的,但我们并不准备在这个方面做更多的纠缠我们知道的最基本的图形的面积是矩形的面积,它等于矩形的长和宽的乘积三角形的面积是通过转化为矩形面积得来的而所有直线形都可以剖开成为若干三角形,所以我们就可以得到所有直线形的面积我们在这里感兴趣的是如何将面积作为工具来进行数学证明在这个方面,最熟悉的莫过于刘徽注 九章算术 时证明勾股定理所用的“青朱出入图”(如图所示)按说,当年刘徽注 九章算术 时也应该有一图,不幸的是原图早已失传现在我们所讲的青朱出入图是后人根据刘徽的注记“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也合成弦方之幂,开方除之,即弦也”而补上的在图上做适当的标注之后,我们无需说过多的话,整个证明一目了然刘徽发明的这个方法也被称为“出入相补法”图青朱出入图证明勾股定理我们对 周髀算经 中证明勾股定理的弦图也很熟悉,它也可以被解释成一个出入相补法的证明(如图所示)从图()可以看出,大正方形中留白部分的面积是弦的平方,重新摆放此图中的两个阴影三角形之后得到图(),而图()中留白部分的面积是勾的平方加上股的平方当然,也可以将它理解成另一个版本的青朱出入图(如图所示)图弦图证明勾股定理图青朱出入图的另一个版本上海中学数学 年第期实际上,无论是利用 周髀算经 中的弦图还是赵爽注 周髀算经 时所作的赵爽弦图,对勾股定理的原始证明都还要稍微复杂一些 对于下面的图我们也并不陌生图几何与代数的关系假设A BADa,如果记B CD Eb,那么这个图可以读作(ab)aba b根据这个公式和上面的弦图(如图所示),也可以得到勾股定理c(ab)a bab赵爽弦图也叫做内弦图(如图所示),它给出勾股定理的另一个证明如果在图中我们记A CA Eb,那么图也可以解释为(ba)aba b而赵爽弦图告诉我们c(ba)a bab,即勾股定理也成立图赵爽弦图或许出入相补的概念出现得更早,无疑这个方法应该是刘徽的拿手好戏吴文俊先生在他的一篇文章 中用出入相补法证明了下面的简单比例关系在矩形A B C D的对角线A C上取一点O,过点O分别作A B和B C的平行线P Q和R S(如图所示)这两条平行线和对角线将矩形分割成六块:,由于SA B CSC D A,SS,SS,所 以SSC DASSSA B CSSS,也就是说A RC QP OS OSSO QO RR BQ B,这样一来,我们就有C QQ BR BA R()按照吴文俊先生的说法,尽管这个简单的结果并没有明确地写在 九章算术 中,但 九章算术 中多次用了这个结果想来那时候就应该知道这个结果,况且这个证明对刘徽来讲应该是毫无困难的图简单的比例关系刘徽注 九章算术 实际上写了十章,最后一章讲的是如何测量海岛的高度这一章后来被独立出来,也叫做 海岛算经 其中的一个典型问题如图所示:海岛上一座山的山顶在A处,在C,E两处分别垂直竖立两根长度一样的杆子C DE Fl,分别在G,H两处趴在地上看,可以观察到D或者F分别与山顶A重合这里的C,E,G,H四点之间的距离和l是可以测量的,要求山的高度A B图测量海岛上山的高度根据上面所讲的比例关系(),我们就有A OlB CG C,A OlB CC EEH这是一个关于A O和B C的二元一次方程解这个方程,我们得到A BA OllGHEHG C,这也叫做“海岛公式”我们也可以将比例关系()重写成A RR OO QQ C根 据 勾 股 定 理,我 们 就 有A OR OA RR OR OA RR OO QQ CO QQ CQ CO CQ C,所以A OO CR OQ CB QQ C这个比例关系告诉我们“一条直线被一组平行线所截,截得的线段与平行线之间的距离对应成比例”显然,这个事实的一个直接推论就是我们初中平面几何中的一条基本事实“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例”通常这条基本事实的证明从比例是有理数开始,而后通过一个极限过渡到所有的实数比例的情形 而我们现在上海中学数学 年第期利用面积的证明却没有遇到这样的麻烦这一点并不能说明用面积来处理几何问题简单,反而预示着讲清楚面积定义的合理性并不简单除了出入相补法之外,张景中先生也发展了一套用面积来处理比例问题的办法他的基本出发点也很简单,“两个等高三角形的面积之比等于它们底边的比例”从此出发,他得到一个共边比例定理顾名思义,所谓共边三角形指的就是两个有一条公共边的三角形如图所示,P Q是P A Q,P B Q的公共边,过两个顶点A,B的直线交P Q于点M,那么SP A QSP B QAMMB图共边比例定理定理的证明非常简单我们在P Q的延长线上选择 一 点N,使MNP Q这 样 一 来,SP A QSM AN,SP B QSM BN而且MAN和MBN是等高三角形,所以SP A QSP B QSM ANSM BNAMMB实际上,两个共边三角形的相对位置并不只有图中所画的那样,图列出了所有的四种可能,上面的证明对这四种不同相对位置的情况都适用图共边三角形的相对位置作为一个共边比例定理应用,我们来证明三角形三边上的中线交于一点图 中的A L和BM分别是A B C的边B C和边C A上的中线,O是两条中线的交点根据共边比例定理,SA O BSC O A同理,SA O BSB O C所以SB O CSA B C再用一次共边比例定理,就得到O LA L如果O 是A L与边A B上的中线的交点,重复上面的证明,我们就可以得到O LA L,这就证明了OO,即三条中线共点图 三角形的重心张景中先生有一个基本看法,但凡仅涉及直线的平行或相交,同一直线上的线段比,以及面积比的问题,都属于“仿射几何”的范畴而这一类问题仅用共边比例定理就足以解决了所以这个定理的应用范围足够广泛三角形的三条边上的中线共点是一个标准的仿射几何定理,它的一个推广叫做塞瓦定理,也是一个仿射几何的问题假定L,M,N依次是A B C的三条边B C,C A,A B上的三点(如图 所示),那么A L,BM和CN三线共点的充分必要条件是ANNBB LL CCMMA()如果L,M,N是三条边的中点,那么塞瓦定理中的充分条件得到满足,这样一来就得到三条中线共点尽管这个塞瓦定理不在课程标准的要求之中,但是数学竞赛中时常会遇到这个定理图 塞瓦定理利用共边比例定理,这个定理的证明也非常简单先证明必要性如果直线A L,BM,CN都通过点O,那么根据共边比例定理,我们就有ANNBSC O ASB O C,B LL CSA O BSC O A,CMMASB O CSA O B,所以ANNBB LL CCMMASC O ASB O CSA O BSC O ASB O CSA O B,这就证明了必要性对于充分性,我们假定O是A L,BM的交点,联结C O,它的延长线交A B于点N 根据上面的必(下转第 页)上海中学数学 年第期织者、引导者与合作者学生的学习应是一个主动的过程,认真 听 讲、独 立 思 考、动 手 实 践、自 主 探索、合作交流等是学习数学的重要方式教学活动应注重启发式,激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,鼓励学生质疑问难,引导学生在真实情境中发现问题和 提 出 问 题,利 用 观 察、猜 测、实 验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题;促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会和运用数学的思想与方法,获得数学的基本活动经验;培养学生良好的学习习惯,使学生形成积极的情感、态度和价值观,逐步形成核心素养参考文献中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准:年版S北京:人民教育出版社,黄晓雨数学实验教学:趣折相似巧生几何直观 以“折纸中的相似”为例J中学数学月刊,():张扬,王宗信变化基本图形生长关键能力 通过数学实验变化四边形进行单元教学的尝试J数学通报,():程花通过数学实验培养学生数学抽象素养 以苏科版“数学实验室”栏目素材为例J数学通报,():;(上接第页)要性和(),我们就有AN N BL CB LMACMANNB,所以N N,也就是说,A L,BM,CN都通过点O当然,共边比例定理不仅可以用来解决仿射几何问题下面的结果是三角形重心的一个性质:三角形内的点到三条边距离的乘积达到最大值,这个点一定是三角形的重心图 三角形重心的极值性质我们考察图,从三角形内部一点P向三条边作垂线,长度 分 别 是d,d,d,它们就是P到三条 边 的 距 离延 长A P交B C于点M我们知道三角形的面积SA B CSP B CSP C ASP A B(dB CdC AdA B)是一个常数根据AM GM不等式,我们知 道ddd(B CC AA B)SA B C,当dB CdC AdA B时,等式成立,从而ddd达到最大值这里的条件dB CdC AdA B等价于SP B CSP C ASP A B,P A B,P C A是共边三角形,根据共边比例定理,SP A BSP C A蕴含了BMMC,也就是说AM是中线同样的道理,C P,B P的延长线也分别通过A B和C A的中点,也就是说P是A B C的重心当然,面积方法并不是万能的,但是有时候会让证明变得出奇的简单出入相补法是我们的优秀传统文化,单单证明勾股定理还不足以让学生体会到它的精妙之处,它有许多的应用从现代来看,张景中先生利用共边比例定理处理几何问题也有独到之处因为起点不高,他写了好几本书向中学生介绍这个方法,有兴趣的读者可以去看他写的书面积法不仅可以应用在几何证明中,在代数恒等式或者三角恒等式的证明上也有些应用,而且往往简单明了,让人耳目一新,其中有丰富的教育价值可以挖掘参考文献李继闵九章算术校正M西安:陕西科学技术出版社,程贞一,闻人军周髀算经译注M上海:上海古籍出版社,吴 文 俊吴 文 俊 文 集 M济 南:山东教育出版社,舒尔茨,塞弗诺克,舒伊尔三S平面几何学M骆承绪,译骆师曾,校上海:世界书局,张景中几何新方法和新体系M北京:科学出版社,张景中新概念几何M北京:中国少年儿童新闻出版总社,张景中面积关系帮你解题M上海:上海教育出版社,上海中学数学 年第期