数学教案【集合的含义与基本关系】.doc

一、教学内容：集合的含义与表示＆集合间的基本关系．
二、教学目标：
1. 集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2. 集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义．
三、重点难点：
1. 理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合，集合与集合之间的关系；
2. 能够判断集合是否相等；
3. 掌握分类讨论思想，能够正确处理含有字母问题的讨论．
易 错 点：①互异性的验证问题；②空集的讨论问题．
四、教学过程：
第一课时 集合的含义与表示
（一）知识要点
1．集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起成为一个集合（简称集）．
说明：集合是数学中不加定义的原始概念，是最基本的概念之一，它是用描述性语言叙述的．如“高一（1）班学生”就组成一个集合，记为{高一（1）班学生}．
（2）元素：集合中的每个对象都叫做这个集合的元素．
说明：集合常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
（3）属于：若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；若b不是集合A的元素，就说b不属于集合A，记作．
2．集合中元素的特征
（1）确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可．
如：“较大的数”，“著名科学家”等均不能构成集合．
※（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需要进行检验．
（3）无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合与其中元素的排列顺序无关．
3．集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内来表示集合的方法．
注意：①元素间用分隔号“，”，且元素不重复；②对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用删节号．
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内来表示集合的方法．
它的一般形式是：，其中p叫做代表元素．
注意：对于一般形式的描述法，不能只把注意力放在竖号“”右边“p”适合的条件，还要对竖号“”左边“p”的形式引起足够的重视．
如，，，
◆小结：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
1 2 3
4 5
（3）图示法：为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．如图所示，

表示集合{1，2，3，4，5}．
4．常用数集的符号
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）全体正整数的集合简称为正整数集，记作N*或N+；
（3）全体整数的集合简称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数的集合简称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数的集合简称为实数集，记作R．
值得注意的是，三个集合N，N*，N+的意义及书写形式，切不可写为N*，N+，对于正整数集，手写通常写N+，较为方便．
5．集合的分类
（1）集合含有有限个元素的集合叫做有限集；
（2）集合含有无限个元素的集合叫做无限极；
（3）不含任何元素的集合叫做空集，记作；
注意：不含任何元素的集合叫空集，通常记为，它不同于{0}，因为{0}是指含有一个元素0的集合；同时不能记为{}，因为{}是指含有一个元素的集合；另外，在集合的关系与运算中千万别漏了空集这种情况．
（二）典型例题
题型1 集合的有关概念
例1.1.1 已知集合，，，且，，，设，则（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
例1.1.2 已知集合，
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．

题型2 集合中元素的特征
例1.2 .1 设，集合，则（ ）
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
例1.2.2 已知集合，若，求实数的取值范围．

第二课时 集合间的基本关系
（一）知识要点
1．集合的包含关系
（1）子集与真子集
①子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作AB（或BA）；
注意：“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意，都能推出；任何一个集合都是它本身的子集．因为，对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，记作；规定：空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有．
②真子集：如果AB，且，就说集合A是集合B的真子集，记作．
注意：空集是任何非空集合的真子集，即若，则．
（2）集合相等
如果集合A中的任何一个元素，都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B．
即若且，则称A等于B，记作．
说明：上述定义给出了我们证明两个集合相等的办法，即欲证，只需证与都成立即可．
（3）简单性质
①（即任何集合都是它本身的子集）；
②（即空集是任何集合的子集）；
③若，，则（集合的传递性）；
④若集合A是n个元素的集合，则集合A有个子集（其中个真子集）．
2．全集与补集
（1）全集的概念
包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作．
注意：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异．
（2）补集的概念
设是一个集合，是的一个子集（即），则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中集合的补集，记作=．
可见，中集合的补集是的一个子集．
（3）简单性质：
①()=A；②，．
（二）典型例题
题型1 元素与集合、集合与集合的关系
例2.1.1 以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
①与；②与；③与；④与；⑤与．
例2.1.2 已知集合，，，则、、满足的关系是（ ）
A. B. C. D.

题型2 空集的特殊性和特殊作用的考查
例2.2.1 若集合，．且，求的值．

例2.2.2 已知，，且，求实数组成的集合．

题型3 集合中子集的个数与元素的个数
例2.3.1 设集合，则满足的集合的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8

例2.3.2 已知非空集合，且若，则，那么集合的个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

题型4 利用数轴进行集合的基本运算
例2.4 （1）设集合，，若，求实数的取值范围．

（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．

（三）跟踪练习
1、选择题
（1）满足条件的集合的个数是（ ）
A. 13 B. 14 C.15 D. 16
（2）满足的集合，的组数有（ ）
A. 4组 B. 6组 C. 7组 D. 9组
（3）设是数集，其元素满足条件：若，则．如果，问中至少有几个元素？

（4）集合中有个元素，若在中增加一个元素，则它的子集增加的个数是（ ）
A. B. C. D.
2、解答题
（1）已知集合，，其中，，求的值．

（2）已知集合，，，．若，求实数的值．

五、思维总结
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、、A、、等等．
2．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法．
① 区别∈与、与、与、与、与；
② 时，有两种情况：与；
③若集合中有n个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是；
④区分集合中元素的形式：
如；；；
；；
；．
⑤空集是指不含任何元素的集合．、和的区别；0与三者间的关系．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况．
⑥符号“，”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“，，”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系．