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转动球体的全空间磁场分布
作者：钱士才 西南交通大学 机械茅以升班 学号：20090794
指导老师：李元杰
摘要
求绕对称轴转动的带电体的磁场是一类典型的静磁场边值问题，传统的解法是用磁矢势或磁标势结合边界条件解拉普拉斯方程或泊松方程，其过程复杂，计算冗长;采用磁场叠加法对旋转球面、球体、柱体的磁场进行了分析.本文以转动球体为例，根据(连带)勒让德多项式的性质和加法公式，利用矢势叠加法方便快捷地导出了转动球体的空间磁场分布。
关键词:矢势；勒让德多项式；磁感应强度；DTP编程
一、 前沿
球体现实生活中具有高度对称性的一类物体，应用广泛。摩擦等一些方式会使其带电，而这种球体一旦旋转起来，就会使其周围空间形成一定的磁场分布，从而对其他电子设备形成一定程度的破坏或干扰。因此，研究带电球体转动的磁场分布具有一定的现实意义。
二、方程及求解
　2.1.转动球体的矢势
电荷量Q均匀分布在半径为a的球体内，当球体以匀角速度ω绕它的直径旋转时，求其空间矢势和磁场分布.以球心为原点O，转轴为极轴，建立如图1所示球坐标系.根据电流产生矢势的式，可得到空间任意点的矢势为：
（1）
其中
（2）
（3）
为与之间的夹角。
由空间夹角的公式可得：
（4）

图1 坐标系
由电流分布对称性可知，在空间任一个过Z轴的平面的磁场分布均相同，即矢势与方位角无关。为计算方便，取P点的方位角
（5）
将（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1）整理可得磁矢势为：
（6）
又因为又特殊条件，即：
（7）
以及在球坐标中的，则式（6）可简化为：
（8）
则式（8）即为转动球体的矢势积分表达式.

2.2.利用勒让德多项式计算转动球体的积分矢势
由于勒让德多项式得距离条件，下面分r>a和r<a两种情况计算积分，由勒让德多项式的生成函数式知
（9）
再利用连带勒让德多项式加法公式
（10）
由三角函数族的正交关系可知
（11）
当时，由式（8）、（9）可整理得到矢势：
（12）
利用下列公式即条件：
（13）
（14）
（15）
（16）
以及递推公式
（17）
（18）
当时有：
（19）
当时有：
（20）
（21）
当时，整理可得：

（22）
这得到了方便计算的矢势表达式
2.3、转动球体的磁感应强度
根据磁感应强度的计算式可得到：
（23）
2.3.1在球的外部，即当时有：

（ 24）
可见，转动球体的磁场相当于在球心出放一个中心为Z轴的磁偶极子产生的磁场。
2.3.2 在球体内部，即有

（25）
在球心处（r=0）可得磁场强度的表达式为
（26）
在沿Z轴的轴线上，可得：
（27）
可见，磁感应强度随距离增大而减少
三、结果分析
3.1坐标变换
在 二 中，得到了旋转球体的磁场在极坐标下的表达式，为了方便DTP作图，将其公式转化为直角坐标下的表达式，根据极坐标和直角坐标的关系：
（28）
（29）

则其表达式可化为在直角坐标下的表达
3.1.1 在球的外部有 （30）
（31）
（32）
3.1.2 在球的内部有
（33）
（34）
（35）

3.2利用DTP编程可作出转动球体的磁场中磁感应线的分布图：

可以看出，在球的外部，转动球体的磁感线分布相当于一个电偶极子产生的磁场；其磁场的大小与其所带的电量成正比，与球转动的角速度长正比，与球半径的平方成正比，下面以DTP做出的图来定性的比较影响外部磁场分布的因素，其中磁场的强弱以磁感应线的亮度和疏密来表示，亮度越大，磁感线越密的地方，其磁感应强度越大.
在球的内部，其磁场相当于一个螺线管的磁场。
3.3 下面以DTP做出的图来定性的比较影响外部磁场分布的因素:
3.3.1当球的半径一定时，不同电量和不同的转动角速度产生的磁场并不相同：

3.3.2 当半径与电量相同时，不同角速度产生不同的磁场。

3.3.3 当角速度和电量一定时，不同的半径产生的电场并不相同。

四，讨论
根据（连带）勒让德多项式的性质和加法公式，还可计算转动球面、柱体、螺线管等带电体的空间磁场分布.该方法既能计算电流分布区域外部的磁场，又能计算电流分布区域内部的磁场，不涉及解泊松方程，简便直观，易于理解，是求解轴对称性稳恒场的一种有力工具.本文一个创新的地方是使用了DTP平台编程，很好的展现了求出的转动球体的磁场，并容易看出磁场分布的影响因素。

参考文献:
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Abstract:
According to characterand additive formula ofLegendre polynomia，l we calculate thewhole-space magnetic field of rotating spherewith charged by using the superpositionmethod ofvector potential
Key words:vector potentia;l Legendre polynomia;l magnetic induction