[名校联盟]吉林省吉林一中2011届高三冲刺(一)数学(文)试题.doc

吉林一中2011届高三冲刺试题1
数 学（文） 2011.1.28
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U=R，集合= （ ）
A．（-2，2） B．
C． D．
2．若复数是纯虚数，则实数a的值为 （ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
3．已知命题；和命题则下列命题为真的是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知上 （ ）
A．有三个零点 B．有两个零点 C．有一个零点 D．不能确定
5．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．与a的值有关联

7．如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为
则判断框中应填入的条件是 （ ）
A．T>4 B．T<4
C．T>3 D．T<3
8．设函数为奇函数，
= （ ）
A．0 B．1
C． D．5
9．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南
50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座
灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在
B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点
间的距离是 （ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定成立的为
（ ）
A． AC⊥BE
B．AC//截面PQMN
C．异面直线PM与BD所成的角为45°
D．AC=BD

11．设，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．（1，2）
12．对，运算“”、“”定义为：，则下列各式中恒成立的是 （ ）
①
②
③
④
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题。每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在答题卷指定位置）
13．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，
则其侧面积等于 ．
14．某校为了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了100
名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布
直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6
到8小时内的人数为 人。

15．若关于的方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是 ** ．
16．在中， 角所对的边分别为，若，则边上的中线长为 ** ．
[来源:Z*xx*k.Com]
三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本小题共10分）已知向量，，函数
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的最大值和最小值．[来源:学科网]

18．（本小题满分12分）
在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求三棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为错误！不能通过编辑域代码创建对象。且他们是否破译出密码互不影响．
（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；
（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．

20．（本小题满分12分）
设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列．
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）如果，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前错误！不能通过编辑域代码创建对象。项和。

21．（本小题共12分）
设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且．
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

22．（本小题共12分）设函数，方程有唯一解，其中实数为常数，，
（1）求的表达式；
（2）求的值；
（3）若且，求证：

[来源:学科网ZXXK]

参考答案

一、选择题：
1—5：ABCCB 6—10：CBCAD 11—12： CC
二、填空题：
13：6 14：30 15： ； 16．7
三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解：（1） -------3分
的最小正周期．-------5分
（2）
，当，即时，有最大值2； -------7分
当，即时，有最小值1 ．-------10分

19.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1,2,3），依题意有
且A1，A2，A3相互独立．
（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3 彼此互斥 高考资源网于是P（B）=P（A1·A2·）+P（A1··A3）+P（·A2·A3）＝　＝．
答：恰好二人破译出密码的概率为……………………6分
（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D． D＝··，且，，互相独立，则有P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝．
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
又也适合式③， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。．错误！不能通过编辑域代码创建对象。………………10分
设数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前错误！不能通过编辑域代码创建对象。项和为 错误！不能通过编辑域代码创建对象。．
错误！不能通过编辑域代码创建对象。=错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。=错误！不能通过编辑域代码创建对象。……12分
21．（本题满分12分）解：（1）（解法一），故为的中点．
设，由点在轴的负半轴上，则
又，
又，
所以，点的轨迹的方程为 [来源:学科网ZXXK]
（解法二），故为的中点． 设，由点在轴的负半轴上，则 -------1分
又由，故，可得 -------2分
由，则有，化简得： -------3分
所以，点的轨迹的方程为 -------4分
（2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为，
以为直径的圆交于两点，的中点为．
，
-------9分

-------11分
所以，令，则对任意满足条件的，
都有（与无关），即为定值． -------12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）由，可化简为
-------2分当且仅当时，方程有唯一解． ---3分
从而 -------4分
（2）由已知，得 -------5分
，即
数列是以为首项，为公差的等差数列． -------6分
，
，，即
-------7分
故 -------8分
（3）证明：， -------10分
---11分

故 -------12分

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学校名录参见：