1、初一上难点专题 动角问题压轴题的五种考法全梳理目录【考法一、求角度】1【考法二、求角的运动时间】3【考法三、角度之间数量关系】5【考法四、角度定值问题】7【考法五、角度中的新定义问题】9【课后练习】11【考法一、求角度】例已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起,边与直线重合,其中(1)求图1中的的度数;(2)如图2,三角板固定不动,将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度,其中当三角板的一边平分时,求旋转角的度数;是否存在?若存在,求此时的度数;若不存在,请说明理由变式1如图,射线在内部,且,射线分别在内部(1)若,说明:平分;(2)若,平分,求的度数;(3)将沿射线折叠,得到,若,设的度数为x
2、,用含x的代数式表示的度数变式2刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚,请你和他一起探究下面问题吧已知,射线,分别是和的角平分线(1)如图1,若射线在的内部,且,求的度数;(2)如图2,若射线在的内部绕点旋转,求的度数(3)若射线在的外部绕点旋转(旋转中,均指小于的角),其余条件不变,请借助图3探究的大小变式3如图,平分,平分(1)求的度数;(2)将绕着点顺时针旋转,仍然分别作,的平分线,能否求出的度数?若能,请求出其值;若不能,请说明理由;(3)若(),仍然分别作()中操作,能否求出的度数?若能,直接写出的度数【考法二、求角的运动时间】例如图两个形状、大小完全相同的含有,的三角板如图1放置,、与直线
3、重合,且三角板,三角板均可以绕点旋转(1)将图1中的三角板保持不动,三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周,如图2,经过秒后,平分,求此时的值;(2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时,三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周,那么经过多长时间边与首次重合;(3)如图,将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转,同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转,(当转到与重合时,两三角板都停止转动),在旋转过程中,、三条射线中,得到三个角,当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时,直接写出旋转的时间的值变式1将一副三角板按图1摆放,把它抽象成几何图形,便得到图2,已知,保持三角板不
4、动,将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动(即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动),如图3所示,设转动时间为t秒()(1)当 时,平分,此时 度;(2)在三角板转动的过程中,请判断与有怎样的数量关系,并说明理由;(3)如图4,在三角板转动的过程中,分别作和的平分线和,请求出当t为何值时,变式2如图,把一副三角尺拼在一起,其中三角形是等腰直角三角形,并且B,C,E三点在同一直线上(1)如图1,求的度数;(2)如图2,若射线,分别从,位置开始,同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转,平分,平分,设旋转的时间为秒当时,的度数是否等于一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;当为何值时,
5、?变式3如图,射线、在内部,且满足,其中射线、同时分别从射线、出发,射线以每秒的速度顺时针旋转,射线以每秒的速度逆时针旋转,所在区域为“转换区”:当从射线进入“转换区”,其速度变为射线的旋转速度,当射线从射线进入“转换区”,其速度变为射线的旋转速度,出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转,设旋转的时间为秒(1)分别求出的度数(2)当射线与射线重合时,求的值及此时的度数(3)当射线与射线重合时停止旋转,求满足时的值【考法三、角度之间数量关系】例已知线段,线段在线段上运动,E、F分别是、的中点 (1)若,则_cm(2)当线段在线段上运动时,试判断的长度是否发生变化?如果不变,请求出的长度;如果变
6、化,请说明理由(3)我们发现角的很多规律和线段一样,如图,已知在内部转动,、分别平分和,若,则_由此,你猜想、和有怎样的数量关系(直接写出猜想即可)变式1定义:从的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角,则称该射线为的“好线”如图,点O在直线上,在直线上方,且,射线是的“好线”(1)若,且OE在内部,求的度数;(2)若OE恰好平分,求的度数;(3)若OF是的平分线,OG是的平分线,直接写出与的数量关系变式2定义:从()的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角,则称该射线为的“好线”如图,点在直线上,在直线上方,且,射线是的
7、“好线”;(1)若,且在内部,则 ;(2)若恰好平分,请求出的度数;(3)若是的平分线,是的平分线,请画出图形,探究与的数量关系,并说明理由变式3将一副直角三角板如图1摆放在直线上(直角三角板和直角三角板,),保持三角板不动,将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上(1)当 秒时,平分;(2)如图2,旋转三角板,使得、同时在直线的异侧,则与数量关系为 ;如图3,继续旋转三角板,使得、同时在直线的右侧,猜想与有怎样的数量关系?并说明理由(3)若在三角板开始旋转的同时,另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转,当旋转至直线上时同时停止请直接写出在旋转过程中与的关系【考法四、角
8、度定值问题】例如图1,点O在直线上,射线、在直线上方,(1)若,请说明射线是的角平分线;(2)射线在直线上方,平分,当时,求的度数当时,是否存在常数k使得的值为定值?若存在,请求出常数k的值,若不存在,请说明理由变式1如图,两条直线,相交于点,且,射线从开始绕点逆时针方向旋转,速度为每秒,射线同时从开始绕点顺时针方向旋转,速度为每秒,运动时间为秒(,本题出现的角均不大于平角)(1)当时,的度数为_度,的度数为_度(2)为何值时,(3)当射线在的内部时,探究是不是一个定值?若是,请求出这个定值变式2如图,已知,以O为顶点,OA为一边顺次往外画两个锐角和,并且,平分,平分若设(1)当射线在内时若,
9、求x的值;若是内的一条射线,且,判断是图中哪个角的平分线,并说明理由;(2)改变的大小,探究的大小是否发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由变式3如图,已知,以O为顶点,OA为一边顺次往外画两个锐角和,并且,平分,平分若设(1)当射线在内时若,求x的值;若是内的一条射线,且,判断是图中哪个角的平分线,并说明理由;(2)改变的大小,探究的大小是否发生变化?若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由【考法五、角度中的新定义问题】例【新概念】如图1,为内一条射线,当满足时,我们把射线叫做射线的m等个性线,记作(其中m为正整数)【实际应用】已知:为直线上一点,过点作射线(1)如图2,将一个三
10、角板(含)直角顶点D放在处,另两条边分别为,当DE是时, (填“是”或“不是”)(2)如图3,将三角板的顶点E放在O处,那么当是时,是否也是?请先猜想结果,再说明理由(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转,如图4,此时存在正整数m使是的同时,也是,则 变式1如图,直线与直线相交于点O, 已知,绕点O在平面内旋转,旋转前,边与射线重合,边与射线重合 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周 (1)如图1,从旋转开始至边与射线重合时,共需多少秒?(2)旋转至如图2所示位置时,试说明与有何数量关系,并说明理由;(3)如图3,已知,绕点O在平面内旋转,旋转前,边与射线重合,边与射线重合 若在旋转过程中,
11、绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转,当停止旋转时,也停止旋转,旋转过程中,当边所在直线恰好平分锐角时,求出旋转时间变式2若,我们则称是的“绝配角”例如:若,则是的“绝配角”,请注意:此时不是的“绝配角”(1)如图1,已知,在内存在一条射线,使得是的“绝配角”,此时_:(直接填写答案)(2)如图2,已知,若平面内存在射线、(在直线的上方),使得是的“绝配角”,与互补,求大小:(3)如图3,若,射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转,射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转,平分,平分,运动时间为t秒()当时,是的“绝配角”,求出此时t的值:当时,_时,是的“绝配角”(直接填写答案)变式3如果
12、两个角的差的绝对值等于,就称这两个角互为“伙伴角”,其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”(本题所有的角都指大于小于的角),例如,则和互为“伙伴角”,即是的“伙伴角”,也是的“伙伴角”(1)如图1O为直线上一点,则的“伙伴角”是_(2)如图2,O为直线上一点,将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得,同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转,当射线与射线重合时旋转同时停止,若设旋转时间为t秒,求当t何值时,与互为“伙伴角”(3)如图3,射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转,旋转时间为t秒,射线平分,射线平分,射线平分问:是否存在t的值使得与互为“伙伴角”?若存在,求出t值;若不存在,
13、请说明理由【课后练习】1已知,为内部的一条射线,(1)如图1,若平分,为内部的一条射线,则 ;(2)如图2,若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束,当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动若运动时间为t秒,当时,求t的值;(3)如图3,若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束,在旋转过程中,平分,试问:在某时间段内是否为定值?若不是,请画出图形,并说明理由;若是,请画出图形,并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段(题中的角均为大于且小于的角)2对于四条具有公共顶点的射线,如果其中两条射线构成的角位于另两条射线构成的角内,且等于的一
14、半,那么我们把角称为角的内半角,这四条射线称为成内半角射线组(1)如图1,已知,是的内半角,则 度(2)下列各图中,已知,那么其中射线、为成内半角射线组的是 (3)如图2,已知,现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转,对应得到射线、问:在旋转一周的过程中,射线、能否为成内半角射线组?如果能,请直接写出旋转的时间;如果不能,请说明理由3综合应用:三角尺是我们学习数学常见的工具,同时也因它的应用广泛性,常常作为命题的素材【数学来源于生活】动手实践:将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放(1)在_的摆放方式中与互余;在_的摆放方式中与互补(2)在哪种摆放方式中与相等?请说明理由(3)
15、【抽象数学问题】如图1所示,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起若,则_;若,则_(4)如图2所示,若两个同样的三角板,将锐角的顶点A叠放在一起,则与有何数量关系,请说明理由4已知在的内部,是补角的(本题出现的角均指不大于平角的角)(1)如图1,求的值;(2)在(1)的条件下,平分,射线满足,求的大小;(3)如图2,若,射线绕点以每秒的速度顺时针旋转,同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转,当射线与重合后,再以每秒的速度绕点逆时针旋转设射线,运动的时间为秒(),当时,请直接写出的值_5如图1,如图点为线段上一点,一副直角三角板的直角顶点与点重合,直角边在线段上,(1)将图1中的三角板绕点沿顺时针
16、方向旋转到如图2所示的位置,若,则_;猜想与的数量关系为_;(2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周,三角板不动,请问几秒后所在的直线平分?(3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周,同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转(随三角板停止而停止),请直接写出几秒后所在的直线平分?6已知,过顶点O作射线,若,则称射线为的“好线”,因此的“好线”有两条,如图1,射线,都是的“好线”(1)已知射线是的“好线”,且,求的度数(2)如图2,O是直线上的一点,分别是和的平分线,已知,请通过计算说明射线是的一条“好线”(3)如图3,已知,射线和分别从和同时出发,绕点O按顺
17、时针方向旋转,的速度为每秒,的速度为每秒,当射线旋转到,立即绕点O按逆时针方向旋转,直至射线与重合时,两条射线同时停止在旋转过程中,射线能否成为的“好线”若不能,请说明理由;若能,请求出符合条件的所有的旋转时间7将一副直角三角板按如图1摆放(,),点D,C,A都在直线上,保持三角板不动,将三角板绕点C以每秒的速度,顺时针方向旋转三角板的旋转时间为t秒,旋转一周回到原位则停止(本题中的角均大于且小于或等于)(1)当与重合时,求t的值;(2)如图2,平分,为的三等分线,且当时,求的值;在三角板旋转一周的过程中,若,直接写出t的值为_8已知,且(1)填空: , ,与的关系是 ;(2)如图,的边与的边重合,将绕点O逆时针旋转,问旋转多少度时,?(3)当旋转的度数n满足时,问旋转过程中,与是否一直存在某种特殊关系?若是,请求出这种关系;若不是,请说明理由9直线相交于点,射线平分(本题中所有角的度数均不超过)(1)若,将绕点旋转至图的位置,_将绕点旋转至图的位置,与有怎样的数量关系?请说明理由(2)如图,若,将绕点顺时针旋转一周,请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系20学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司