七年级数学上册——动角问题压轴题的五种考法全梳理.docx

初一上难点专题 动角问题压轴题的五种考法全梳理

目录
【考法一、求角度】 1
【考法二、求角的运动时间】 3
【考法三、角度之间数量关系】 5
【考法四、角度定值问题】 7
【考法五、角度中的新定义问题】 9
【课后练习】 11

【考法一、求角度】
例．已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中．

(1)求图1中的的度数；
(2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中．
①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数；
②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由．

变式1．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部．

(1)若，说明：平分；
(2)若，平分，求的度数；
(3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数．

变式2．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线．

(1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
(2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数
(3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小．

变式3．如图，，，平分，平分．

(1)求的度数；
(2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
(3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数．

【考法二、求角的运动时间】
例．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转．

(1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值；
(2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合；
(3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值．

变式1．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知，．保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动（即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间为t秒（）．

(1)当 时，平分，此时 度；
(2)在三角板转动的过程中，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在三角板转动的过程中，分别作和的平分线和，请求出当t为何值时，．

变式2．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．

(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒．
①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
②当为何值时，？
变式3．如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒．

(1)分别求出的度数．
(2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数．
(3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值．

【考法三、角度之间数量关系】
例．已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点．

(1)若，则______cm．
(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）
变式1．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．

(1)若，且OE在内部，求的度数；
(2)若OE恰好平分，求的度数；
(3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．

变式2．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”；

(1)若，且在内部，则 ；
(2)若恰好平分，请求出的度数；
(3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由．

变式3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上

(1)当 秒时，平分；
(2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为 ；
②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中与的关系．

【考法四、角度定值问题】
例．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．

(1)若，请说明射线是的角平分线；
(2)射线在直线上方，平分，，
①当时，求的度数
②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．
变式1．如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒（，本题出现的角均不大于平角）．

(1)当时，的度数为________度，的度数为________度．
(2)为何值时，．
(3)当射线在的内部时，探究是不是一个定值？若是，请求出这个定值．

变式2．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设．

(1)当射线在内时．
①若，求x的值；
②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由；
(2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
变式3．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设．

(1)当射线在内时．①若，求x的值；
②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由；
(2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

【考法五、角度中的新定义问题】
例．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线的m等个性线，记作．（其中m为正整数）
【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线．

(1)如图2，将一个三角板（含）直角顶点D放在处，另两条边分别为，当DE是时， ．（填“是”或“不是”）．
(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是?请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则 ．
变式1．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．

(1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？
(2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间．

变式2．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．

(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小：
(3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．
①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值：
②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）．

变式3．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于小于的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．

(1)如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________．
(2)如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”．
(3)如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【课后练习】
1．已知，为内部的一条射线，．

(1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ；
(2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角）
2．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组．
(1)如图1，已知，，是的内半角，则 度．

(2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ．

(3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由．

3．综合应用：
三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．
【数学来源于生活】
动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．

(1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补
(2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由．
(3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________．
(4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由．

4．已知在的内部，，是补角的．
（本题出现的角均指不大于平角的角）

(1)如图1，求的值；
(2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小；
(3)如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______．

5．如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，．

(1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______；
(2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？
(3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？

6．已知，过顶点O作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”．

(1)已知射线是的“好线”，且，求的度数．
(2)如图2，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”．
(3)如图3，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．

7．将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于）

(1)当与重合时，求t的值；
(2)如图2，平分，为的三等分线，且．
①当时，求的值；
②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______．
8．已知，且．

(1)填空： ， ，与的关系是 ；
(2)如图，的边与的边重合，将绕点O逆时针旋转，问旋转多少度时，？
(3)当旋转的度数n满足时，问旋转过程中，与是否一直存在某种特殊关系？若是，请求出这种关系；若不是，请说明理由．

9．直线相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过）

(1)若，
①将绕点旋转至图①的位置，，______．
②将绕点旋转至图②的位置，与有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系．

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