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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，3） B．若x＞1，则﹣3＜y＜0
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而增大
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为
A． B．5 C．4 D．3
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2的图象向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=(x－3)2－2 B．y=(x－3)2＋2 C．y=(x＋3)2－2 D．y=(x＋3)2＋2
5．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（ ）
A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-2
8．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若反比例函数图象上有两个点，设，则不经过第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
10．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程的解为_____.
12．分解因式：x3y﹣xy3=_____．
13．如图，在中，，，，则的长为__________．
14．已知二次函数y＝x2﹣bx（b为常数），当2≤x≤5时，函数y有最小值﹣1，则b的值为_____．
15．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为 ．
16．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
17．形状与抛物线相同，对称轴是直线，且过点的抛物线的解析式是________．
18．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．
20．（6分）如图，，．与相似吗？为什么？
21．（6分）（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）cos45°•tan45°+tan30°﹣2cos60°2sin45°
22．（8分）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
9
8
8
7
乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
23．（8分）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．
(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．
(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
25．（10分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求一辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）求至少有一辆车直行的概率．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，1)，B(﹣1，4)，C(﹣3，2)，以原点O为位似中心，△ABC与△A1B1C1位似比为1：2，在y轴的左侧，请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先求得的面积再得到，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值.
【详解】过点作轴，交轴于点，
，
，
的面积是，
，
，
，
，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数中的几何意义，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
2、D
【解析】A. ∵(−1)×3=−3,∴图象必经过点(−1,3)，故正确；
B. ∵k=−3<0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；
C. ∵x=1时，y=−3且y随x的增大而而增大，∴x>1时，−3<y<0，故正确；
D. 函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故错误．
故选D.
3、B
【解析】试题分析：∵∠BAC=∠BOD，∴．∴AB⊥CD．
∵AE=CD=8，∴DE=CD=1．
设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，
在RtODE中，OD=r，DE=1，OE=8﹣r，∴OD2=DE2+OE2，即r2=12+（8﹣r）2，解得r=2．故选B．
4、C
【解析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0) 向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为y=(x＋3)2－2.
故选:C.
【点睛】
考查二次函数的平移，掌握二次函数平移的规律是解题的关键.
5、C
【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的时间，分段讨论求出函数解析式即可求解．
【详解】解：分三种情况讨论：
（1）当0≤t≤1时，点P在AD边上，点Q在AB边上，
∴S＝，
∴此时抛物线经过坐标原点并且开口向上；
（1）当1＜t≤1．5时，点P与点D重合，点Q在BC边上，
∴S＝＝2，
∴此时，函数值不变，函数图象为平行于t轴的线段；
（2）当1．5＜t≤2．5时，点P与点D重合，点Q在CD边上，
∴S＝×2×（7﹣1t））＝﹣t+．
∴函数图象是一条线段且S随t的增大而减小．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何问题,用分类讨论的数学思想解题是关键，解答时注意研究动点到达临界点时的时间以此作为分段的标准，逐一分析求解．
6、D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质解决问题，记住相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7、C
【解析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
∵,抛物线开口向下，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
8、D
【分析】根据图象与x轴有两个交点可判定①；根据对称轴为可判定②；根据开口方向、对称轴和与y轴的交点可判定③；根据当时以及对称轴为可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．
【详解】解：①根据图象与x轴有两个交点可得，此结论正确；
②对称轴为，即，整理可得，此结论正确；
③抛物线开口向下，故，所以，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以，故，此结论错误；
④当时，对称轴为，所以当时，即，此结论正确；
⑤当时，只对应一个x的值，即有两个相等的实数根，此结论正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9、C
【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵，
∴a-1＞0，
∴图象在三象限，且y随x的增大而减小，
∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，
∴m=（x1-x2）（y1-y2）＜0，
∴y=mx-m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10、A
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选A．
【点睛】
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、，
【分析】因式分解法即可求解.
【详解】解：
x(2x-5)=0,
，
【点睛】
本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解,属于简单题,熟悉解题方法是解题关键.
12、xy（x+y）（x﹣y）．
【解析】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13、6
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴
又
∴BC=6
故答案为6.
【点睛】
本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成，这一点尤其需要注意.
14、
【分析】根据二次函数y=x2﹣bx(b为常数)，当2≤x≤5时，函数y有最小值﹣1，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得b的值．
【详解】∵二次函数y=x2﹣bx=(x)2，当2≤x≤5时，函数y有最小值﹣1，
∴当5时，x=5时取得最小值，52﹣5b=﹣1，得：b(舍去)，
当25时，x时取得最小值，1，得：b1=2(舍去)，b2=﹣2(舍去)，
当2时，x=2时取得最小值，22﹣2b=﹣1，得：b，
由上可得：b的值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15、2．
【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．
考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．
16、
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】
本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17、或．
【分析】先从已知入手：由与抛物线形状相同则相同，且经过点，即把代入得，再根据对称轴为可求出，即可写出二次函数的解析式．
【详解】解：设所求的二次函数的解析式为：，
与抛物线形状相同，
，，
又∵图象过点，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴当时，，当时，，
所求的二次函数的解析式为：或．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的系数和图象之间的关系．解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即相等．
18、2
【解析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.
【详解】由题意得：+2=0，=2，
∴=-2，=4，
∴=-2+4=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据梯形的性质，利用平行线的性质得到，然后由相似三角形的判定得到结论；
（2）根据点F是BC的中点，可得△CDF≌△BGF，进而根据全等三角形的性质得到CD=BG，然后由中位线的性质求解即可.
【详解】（1）证明：∵梯形，，
∴，
∴．
（2） 由（1），
又是的中点，
∴，
∴
又∵，，
∴，得．
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及中位线的性质，比较复杂，关键是灵活利用平行线的性质解题.
20、相似，见解析
【分析】利用“两个角对应相等，三角形相似”证得△ABC与△ADE相似．
【详解】∵，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC即∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,属于基础题．
21、（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）1﹣
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
（2）原式＝×1+×﹣2××2×
＝+1﹣
＝1﹣
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程和特殊角的锐角三角函数值，掌握用因式分解法解一元二次方程和各个特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键．
22、（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
＝，
乙的方差是：
＝．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
【点睛】
本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．
23、 (1)或1；(2)当且时，有1个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个．
【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；
（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；
【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，
解得AF=1或1；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，
解得AF=1；
综上所述AF=1或1．
（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F1．
当m=4时，由已知条件可得DE=1，则CE=5，
即图中圆的直径为5，
可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F1重合，
即当m=4时，符合条件的F有2个，
当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F1不存在，即此时符合条件的F只有1个，
当1＜m＜4且m≠1时，由所作图形可知，符合条件的F有1个，
综上所述：
当1＜m＜4且m≠1时，有1个；
当m=1时，有2个；
当m=4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD．
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=．
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴．
25、（1）见解析；（2）（一辆车向右转，一辆车向左转）．（3）（至少有一辆汽车直行）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案；
（3）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图：
可以看出所有可能出现的结果共9种，
即：直左，直直，直右，左左，左直，左右，右直，右左，右右．它们出现的可能性相等．
（2）一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，即：左右，右左．
∴P（一辆车向右转，一辆车向左转）．
（3）至少有一辆汽车直行的结果有5种，即：左直，直左，直直，直右，右直．
∴P（至少有一辆汽车直行）．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、见解析.
【分析】根据位似图形的画图要求作出位似图形即可.
【详解】解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点睛】
本题主要考察位似图形的作图，掌握位似图形的画法是解题的关键.
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