九年级数学三角形相关证明深化解析(证明二)基础练习(含答案).doc

1.在△ABC中，AB=AC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，使CE=BD，连接DE，交BC于点G.
求证：DG=GE.

答案：证明：
过D作DH∥AC交BC于点H，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠DHB，
∴DB=DH=CE，
又∵∠HDG=∠CEG，∠DGH=∠CGE，
∴△DHG≌△ECG
∴DG=GE

2.求证：△ADE为等边三角形．
如图，△ABC为等边三角形，E是BC延长线上一点，CD平分∠ACE，CD=BE．

答案：∵　△ABC为等边三角形， ∴　∠B＝∠ACB＝60°， ∴　∠ACE＝120°．∵　CD平分∠ACE， ∴　∠ACD＝60°， ∴　∠B＝∠ACD＝60°． 又∵　AB＝AC，BE＝CD， ∴　△ABE≌△ACD，(SAS) ∴　AE＝AD，∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴　△ADE为等边三角形．

3.如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且BD=2AE．求证：BD是∠ABC的
角平分线．

答案：延长BC、AE交于点F．∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，∠ACB=90°，
∴∠EAD＋∠ADE=90°，∠CDB＋∠CBD=90°．
又∠ADE＝∠CDB，∴∠EAD =∠CBD．
又∵AC=CB，∴Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA），
∴AF=BD=2AE，∴AE=EF，即E为AF的中点.
又∵AE⊥BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的角平分线

5.如图，已知：在△ABC中，∠ACB = 90°， 延长BC到D，BD的垂直平分线交AB于E， DE交AC于F，
求证：点E在AF的垂直平分线上.

答案：∵∠ACB = 90°，∴∠B＋∠A＝90°，∠D＋∠CFD＝90°. ∵E为线段BD垂直平分线上的点，∴BE＝ED，∴∠B＝∠D， ∴∠A＝∠CFD，又∵∠EFA＝∠CFD，∴∠A＝∠EFA， ∴EA＝EF，∴点E在线段AF的垂直平分线上.

6.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF相交于点O．
求证：OE＝OF.

答案：分别向边AB、BC作垂线，垂足为N、M.
则ON＝OM，∵∠B=60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°
又AE、CF是∠A、∠C的角平分线，所以∠OAC＋∠OCA＝60°，
∴∠AOC＝120°，即∠FOE＝120°，
在四边形BNOM中，∵∠B＝60°，∴∠NOM＝120°
∴∠NOF＝∠MOE，∴Rt△NOF≌Rt△MOE，∴OE＝OF.

7.等边三角形ABC，延长BA至D，延长BC至E，使AD=BE．根据以上条件，你能判断CD与DE之 间
的关系吗？请给予证明.

答案：过点D作BE所在直线的垂线，垂足为F
设等边△ABC的边长为m，CE=n.
则BE=BC+CE=m＋n
∵AD=BE，∴BD=BA+AD=m+(m+n)=2m+n
∵△DFB为直角三角形，且∠B=60°
∴∠BDF=30°，∴ BF= = m+
∴CF=BF-BC= m+-m= ，∴CF=FE
即F为CE的中点 ，又∵DF⊥CE
∴DF为线段CE的垂直平分线，∴CD=DE.

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