高二数学选修2-1第二章圆锥曲线-知识点+习题+答案.doc

第二章 圆锥曲线与方程
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率

准线方程

3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
4、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

准线方程

渐近线方程

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
8、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
10、焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
11、抛物线的几何性质：
标准方程

图形

顶点

对称轴
轴
轴
焦点

准线方程

离心率

范围

圆锥曲线测试题
一、选择题：
1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（　　）
A. 抛物线 B.双曲线 　 C. 椭圆 D.以上都不对
2．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）
A. 1或5 B. 1或9 　 C. 1 D. 9
3、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）.
A. B. C. D.
4．过点(2,-1)引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有( )条
A. 1 B.2 　C. 3 D.4
5．已知点、，动点，则点P的轨迹是 ( )
A．圆　　 B．椭圆 C．双曲线　 　D．抛物线
6．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A　　B　 C　　　 　D　
7、无论为何值，方程所表示的曲线必不是（ ）
A. 双曲线 B.抛物线 　C. 椭圆 D.以上都不对
8．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）

A B C D

二、填空题：
9．对于椭圆和双曲线有下列命题：
① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
10．若直线与圆相切，则的值为
11、抛物线上的点到直线的距离的最小值是
12、抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标 。
13、椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，
那么|PF1|是|PF2|的
14．若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是 .;
三、解答题：
15．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.（12分）

16．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若
（1）求△的面积； （2）求P点的坐标．（14分）

17、求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程.（14分）

18、知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．（12分）

19、某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口 A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

20、点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

高二理科数学圆锥曲线测试题答案
一、选择题
ADDCD DBA
一、 填空题：
9．①② 　 10、-1　 11、 12. （） 13. 7倍 14.（0，±3）
三、解答题：
15.(12分)
解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=2. 所以求双曲线方程为:
16．[解析]：∵a＝5，b＝3c＝4 （1）设，，则 ①
②，由①2－②得

（2）设P，由得 4，将 代入椭圆方程解得，或或或
17、解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：
18 [解析]：设M（），P（），Q（），易求的焦点F的坐标为（1，0）
∵M是FQ的中点，∴ ，又Q是OP的中点∴ ，
∵P在抛物线上，∴，所以M点的轨迹方程为.
19解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率
k==－=－=－=－.
由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0.    答案：x+2y－8=0

解：以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在双曲线的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工。
20(14分)解:（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得

则2+9－18=0, =或=－6. 由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
说明：在解析几何中求最值：一是建立函数关系，利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。