Nakagami信道仿真.doc

0 引言
信号的衰落严重的恶化了无线通信系统的性能，为了削弱这一影响，学者进行了大量抗衰落技术的研究，时空处理技术、多天线技术、分集技术都具有良好的抗衰落效果。有效的衰落信道模拟是进行这些研究工作的重要基础。在此基础上，可以在实验室运用分析方法对给定的无线通信系统进行设计和性能评估，并以此为基础对算法进行选择和优化，避免为实现早期系统而搭建硬件造成的巨大花费。
研究和开发数字移动通信系统工程的首要工作就是认识移动信道本身的特性,并研究电波的传播规律。在数字移动通信的传播环境中,由于移动台和基站之间的各种障碍物所产生的反射、绕射和散射等现象,接收信号通常由多径信号成分组成。由于多径信号的相位、幅度和到达时刻的随机变化,引起接收信号包络的快速起伏变化。除了多径传播，多普勒效应同样会对移动信道的传输特性产生负面影响。由于移动单元的运动，多普勒效应降引起每个来波的频移[1]。当移动台与基站之间不存在直接视距分量时,接收信号由来自各个方向的反射和散射波组成并遵循瑞利分布,当在基站和移动台之间存在有直接视距分量时,接收信号服从莱斯分布。前人的研究表明，Nakagami衰落模型[1,2,3,4]是最有效的模型之一，通过改变参数m，可以灵活地拟合不同程度的衰落情况。用Nakagami分布可更好地近似实验测量,比瑞利、莱斯、对数、正态分布都更接近匹配。
由于Nakagami分布中同时包含了瑞利分布和莱斯分布,且Nakagami模型在各种无线通信环境下都非常接近实验数据, 因此Nakagami衰落模型在理解和设计无线通信系统中有着重要的作用,在计算机上对其进行性能仿真是至关重要的。
本文先介绍无线信道的基本理论，接着讲正弦波叠加法[5]，了解了基于舍弃法的Nakagami衰落信道仿真[6]，最后介绍基于AR模型[7,8]的相关Nakagami衰落信道仿真。
1 移动无线信道基本理论
在移动通信中，由于障碍物阻挡了视距路径，发出的电磁波经常不能直接到达接收天线，事实上，接收到的电磁波是由建筑物、树木及其他障碍物导致的反射、衍射和散射而产生的来自不同方向的波叠加而成的。这种现象为多径传播。除了多径传播，多普勒效应同样会对移动信道的传输特性产生负面影响。由于移动单元的运动，多普勒效应引起每个来波的频移。由第条入射波的入射方向和移动单元的运动方向定义的入射角按照如下关系式决定第条入射波的多普勒频率：

上式中，与移动单元的速度V、光速和载波频率的关系可以用数学表达式表示如
下：

由于多普勒频移从而引起的多普勒色散，造成信道的时变特性，也就是信道出现了时间选择性衰落。时间选择性衰落会造成信号失真，这是由于发送信号还在传输的过程中，传输信道的特征已经发生了变化。信号尾端时的信道特性与信号前端时的信道特性已经发生了变化。如果信号持续的时间比较短，在这个比较短的持续时间里内，信道的特性还没有比较显著的变化，这时时间选择性衰落并不明显；当信号的持续时间进一步增加，信道的特性在信号的持续时间内发生了比较显著的变化时，就会使信号产生失真。信号的失真随着信号的持续时间的增长而增加。
2 正弦波叠加法
如果用有限多个谐波来代替无限个谐波，则随机过程表示为

上式中，和表示多普勒系数和多普勒频移，相移是[0,2]内均匀分布的随机变量。可以看出，当时，。这时，必须强调仿真模型仍然具有随机特性，因为对于所有的n=1,2…Ni,相位都是服从均匀分布的随机变量。仿真模型如下图，

正弦波叠加法：仿真模型
在区间[0,2]上服从均匀分布的随机发生器中得到的相位（n=1,2,…,）之后，相位就不再表示随机变量而是一个常量，因为现在它们是随机变量的实现，因此可知

是一个确定性过程或者确定性函数。这样的统计特性就非常接近基本零均值有色高斯随机过程。由此，将被称为实确定性高斯过程，并且被称为复确定性高斯过程。所谓的确定性瑞利过程就是：

确定性莱斯过程是：

上式中，仍然表示接收信号的视距传播分量，所得到的确定性过程的仿真模型结构图如下图所示。
莱斯过程的仿真模型
由于我们的目标是使用特有的确定性过程来对由多普勒效应引起的时变衰落特征建模，因此，我们把描述确定性过程的参数，和分别称为多普勒系数，离散多普勒频率，多普勒相位。
作为对确定性过程的说明，即作为一种映射形式，可以使得我能够对这类过程的大部分基本特征参量（比如自相关函数、功率谱密度、多普勒扩展等）一样，推导出一些简单的封闭形式的解析解。
均值：设是一个确定性过程。其中0（=,…, ）,得到的均值函数为=0，通常都假设对所有的=,…, 和=都满足0。
平均功率：设是一个确定性过程。那么，可以得到的平均功率为

显然平均功率取决于多普勒系数，而与离散多普勒频率和多普勒相位无关。
自相关函数[6]：对于确定性过程的自相关函数，得到的封闭形式表达式为：

应当注意，取决于多普勒系数和离散多普勒频率，而与多普勒相位无关。同样也要注意，平均功率在时和自相关函数相等。即。功率谱密度：设是一个确定性过程。那么可以得到的功率谱密度表示如下：

因此，的功率谱密度函数是对称的线性谱，即。谱线分布在离散点=并通过因子来加权[7]。
3 AR模型原理
本文采用基于AR 统计模型滤波来实现。它的主要原理是利用 AR 模型参数设计的无限脉冲响应滤波器来产生不相关的高斯变量。在这种方法中 AR 模型参数可以通过求解 Yule−Walker 方程而得出。使用 AR 模型模拟产生信道的步骤[8]如下
(1) 利用Bessel 自相关函数产生AR 模型的自相关矩阵；
(2) 利用自相关矩阵构建Yule−Walker 方程，通过求解Yule−Walker 方程得到AR 模型参数；
(3) 使用AR模型参数来构建无限脉冲响应滤波器(IIR)，并使用该滤波器模拟产生衰落信道系数。
一个阶数为p的AR过程(AR(p))可用时域自回归差分方程表示为：
（3-1）
w(n)是输入方差为的零均值高斯白噪声，仿真器的输出x(n)对应于生成的Nakagami-q信道，AR模型的参数为滤波器系数{a1, a2, ⋯, ap}，相应的AR(p)过程输出功率谱密度为：
（3-2）
对于给定的自相关函数Rxx(k)与AR(p)的关系，可以用Yele−Walker 方程表示为：

（3-3）
其中
（3-4）
符合实际传播环境统计特性的离散相关序列为
（3-5）
其中：T 为采样周期，n 表示采样时间的次数。由式(3-5) 和(3-4)，通过优化算法Yele−Walker 方程求解，即得到符合要求的AR 模型。从前面分析可知，将统计独立的复高斯白噪声输入AR 模型，可以得到统计特性与广义平稳性都符合实际传播环境统计特性的时间相关过程。
4 Nakagami-q衰落信道
为便于仿真分析及比较,首先给出莱斯和莱斯分布的理论概率密度函数及其与Nakagami-q概率分布参数间的关系[9,10]。当发射和接收端之间的相对移动且无直接路径分量时,接收信号可表示为
（4-1）
式（5-1)中,为载波频率, 和为第i条到达路径的幅度和相位, 服从[0, 2π] 间的均匀分布; 式中为移动台接收到的第i条反射或散射波的多谱勒角频移,式中的为移动台接收到的第i条反射或散射波与移动台运动方向之间的夹角,并假设 在[0, 2π]间均匀分布,当N 很大时,接收信号包络的概率密度函数服从瑞利分布; 当发射与接收间存在直接路径分量( LOS) 时, 式(5-1) 的接收信号可表示为纯随机散射分量和一个强路径分量之和, 即
（4-2）
式(5-2)中,常数d为LOS分量的强度, 为LOS分量的多谱勒频移,在这种情况下的包络服从莱斯分布,当直达信号不存在时,即d=0时, 莱斯分布就退化为瑞利分布。与莱斯分布相反, Nakagami-q分布并不假定直接视距分量的存在,而是采用伽马分布的密度函数来拟合实验数据,得到近似分布,因而更具有一般性, Nakagami-q分布的概率密度函数[1]为
(4-3)
式(5-3) 中,是第一类零阶修正的Bessel函数，q是Nakagami-q衰落参量(0<q<l)。q=1时Nakagami-q分布转化为瑞利分布,而q=0时，Nakagami-q分布则转化为单边高斯分布。
由以上的衰落信道理论参考模型, 可结合MATLAB对Nakagami-q信道进行模拟和仿真,研究产生Nakagami-q分布下接收信号的小尺度快衰落包络的方法及参数的变化对信号包络的影响, 并与瑞利分布和莱斯分布进行比较,这有助于更好地理解Nakagami-q信道的统计特性。由于Nakagami-q分布同时包括了瑞利分布和莱斯分布,在通常值较大的情况下,信道的衰落特征可以通过式( 5-1) 加上一个强二次波分量来进行模拟。
5 仿真与分析
5.1仿真步聚
步骤1：由式（3-5）产生自相关函数，经AR模型生成AR滤波器系数。
步骤2：由random产生两个服从高斯分布的序列。
步骤3：将产生的信号经过AR滤波器，其中一个输出做实部，另一个做虚部。
步骤4：取模长得到信号包络。
5.2仿真结果
a) 当实部的fd是0.05，虛部的fd是0.05，实部的方差是1，虚部的方差是0.5时：

图5-1 图5-2

图5-3 图5-4
图5-1为仿真信道的ACF和PSD，图5-2为仿真信道包络的pdf，图5-3为JAKES功率谱密度，图5-4为理论包络pdf
b) 当实部的fd是0.05，虛部的fd是0.06，实部的方差是1，虚部的方差是0.5时：

图5-5 图5-6

图5-7 图5-8
图5-5为仿真信道的ACF和PSD，图5-6为仿真信道包络的pdf，图5-7为JAKES功率谱密度，图5-8为理论包络pdf。
c) 当实部的fd是0.05，虛部的fd是0.05，实部的方差是1，虚部的方差是0.25时：
图5-9为仿真信道的ACF和PSD，图5-10为仿真信道包络的pdf，图5-11为JAKES功率谱密度，图5-12为理论包络pdf。

图5-9 图5-10

图5-11 图5-12
d) 当实部的fd是0.05，虛部的fd是0.06，实部的方差是1，虚部的方差是0.25时：
图5-13为仿真信道的ACF和PSD，图5-14为仿真信道包络的pdf，图5-15为JAKES功率谱密度，图5-16为理论包络pdf。

图5-13 图5-14

图5-15 图5-16
代码如下：
主程序：
clear all;
% fs=2e9;
% fc=9e8;
pi=3.1415926;
% t=0:1/fs:1e-5;
fdt1=0.05;%¹éÒ»»¯×î´ó¶àÆÕÀÕƵÒÆ
fdt2=0.05;
tao=1:100;
sigma1=1;
sigma2=0.5;
x1=random('norm',0,sigma1,1,10000);
x2=random('norm',0,sigma2,1,10000);
a1=2*pi*fdt1*tao;
a2=2*pi*fdt2*tao;
acf1=besselj(0,a1);%×ÔÏà¹Øº¯Êý
acf2=besselj(0,a2);%×ÔÏà¹Øº¯Êý
c1=AR_produce(acf1,10000,1e-9);%ARÂ˲¨Æ÷ϵÊý
c2=AR_produce(acf2,10000,1e-9);%ARÂ˲¨Æ÷ϵÊý

y1=conv(x1,c1);
y2=conv(x2,c2);
y=y1+1i*y2;%¾­¹ýARÂ˲¨Æ÷µÄ¸´¸ß˹¹ý³Ì

figure;%ͼ1
ACF_simulation(y);
PSD_simulation1(y);

z1=abs(y);%°üÂç
% z1=sqrt(y1.^2+y2.^2);

figure;%ͼ2
hist(z1,100);

理论pdf仿真程序：
clear all;
f=0:1/10000:3;
sigma1=1;
sigma2=0.5;
q=sigma2/sigma1;
omiga=(sigma1+sigma2)/2;
I=(1-q.^4).*f./(4*q.^2.*omiga);
pdfm=(1+q.^2).*f./(q.*omiga).*exp(-(1+q.^2).*f.^2./(4*q.^2.*omiga)).*
besselj(0,I);
figure;
plot(f,pdfm);

JAKES功率谱仿真程序：
clear all;
fs=10000;
fd1=0.05;
fd2=0.06;
f1=-0.05:1/fs:0.05;
psdmo1=1./sqrt(fd1.^2-f1.^2);
figure;
plot(f1,10*log10(psdmo1));

f2=-0.06:1/fs:0.06;
psdmo2=1./sqrt(fd2.^2-f2.^2);
figure;
plot(f2,10*log10(psdmo2));

参考文献：
[1] J.F.Paris, Nakagami-q (Hoyt) distribution function with applications’ Electronics letters March,2009.
[2] R. S. Hoyt, “Probability functions for the modulus and angle of the normal complex variate,” Bell Syst. Tech. J., vol. 26, no. 3,pp:318–359, 1947.
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[10] 郝谢东,一种相关Nakagami-m信道仿真模型生成方法[J].系统仿真学报.2009年,第21卷第13期.
[11] 宁汀汀,谢亚楠.相参相关Weibull分布海杂波建模与仿真[J].上海航天.2007年第4期：58-61
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